פונקציית התפלגות – הבדלי גרסאות
אין תקציר עריכה |
"פונקציה X"? |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
ב[[תורת ההסתברות]], '''פונקציית הצטברות''' ('''Cumulative distribution function''', ב[[ראשי תיבות]] '''CDF''') של [[משתנה מקרי]] היא פונקציה X שערכיה קובעים את ההסתברות למאורעות מהצורה <math>\ X \leq a</math>, לכל a ממשי. פונקציה זו מהווה הכללה של [[פונקציית הסתברות]] שעוסקת ב[[משתנה מקרי בדיד]], ל[[משתנה מקרי רציף]]. |
ב[[תורת ההסתברות]], '''פונקציית הצטברות''' ('''Cumulative distribution function''', ב[[ראשי תיבות]] '''CDF''') של [[משתנה מקרי]] היא פונקציה של [[משתנה מקרי]] X, שערכיה קובעים את ההסתברות למאורעות מהצורה <math>\ X \leq a</math>, לכל a ממשי. פונקציה זו מהווה הכללה של [[פונקציית הסתברות]] שעוסקת ב[[משתנה מקרי בדיד]], גם ל[[משתנה מקרי רציף]]. |
||
== תכונות מופשטות והקשר למשתנים מקריים == |
== תכונות מופשטות והקשר למשתנים מקריים == |
גרסה מ־21:30, 6 במרץ 2013
בתורת ההסתברות, פונקציית הצטברות (Cumulative distribution function, בראשי תיבות CDF) של משתנה מקרי היא פונקציה של משתנה מקרי X, שערכיה קובעים את ההסתברות למאורעות מהצורה , לכל a ממשי. פונקציה זו מהווה הכללה של פונקציית הסתברות שעוסקת במשתנה מקרי בדיד, גם למשתנה מקרי רציף.
תכונות מופשטות והקשר למשתנים מקריים
אם X משתנה מקרי, הפונקציה מקיימת בהכרח ארבע תכונות:
- הגבול שווה ל-0.
- הגבול שווה ל-1.
- הפונקציה מונוטונית עולה (במובן החלש), כלומר לכל .
- הפונקציה רציפה מימין.
ולהיפך: אם F היא פונקציה המקיימת את ארבע התכונות האלה, אפשר להגדיר ממנה משתנה מקרי. פורמלית, כדי להגדיר משתנה מקרי יש לתאר את ההסתברות לכך שהוא ישתייך לכל קבוצה A השייכת לאלגברת בורל על הממשיים. עם זאת, מכיוון שהקטעים יוצרים את האלגברה, מספיק להגדיר את ההסתברויות למאורעות . ואכן, אם דורשים ש- , נובע שהגבול משמאל שווה להסתברות . מכאן אפשר לקבל את ההסתברויות לכל המאורעות מהצורה , , ו- .
בפרט נובע ש-, כך שהסיכוי למאורעות הוא אפס אם ורק אם הפונקציה F רציפה. אם הפונקציה גזירה, אפשר לתאר אותה כאינטגרל של פונקציית צפיפות f: