משפט נילסן-שרייר

בתורת החבורות, משפט נילסן-שרייר קובע שתת-חבורה של חבורה חופשית איזומורפית לחבורה חופשית.

טענה מקבילה לחבורות אבליות, שכל תת-חבורה של חבורה אבלית חופשית היא אבלית חופשית, הוכחה על ידי ריכארד דדקינד. יאקוב נילסן הוכיח ב-1921 שהמשפט נכון לכל תת-חבורה נוצרת סופית. אוטו שרייר הוכיח את המשפט במלואו בהביליטציה שלו ב-1926.

להוכחת המשפט נחוצה אקסיומת הבחירה, קיימים מודלים של ZF ללא אקסיומת הבחירה בהם המשפט לא נכון. בהינתן ZF, המשפט גורר גרסה חלשה של אקסיומת הבחירה, לקבוצות סופיות.

להבדיל מתת-חבורות, כל חבורה היא חבורת מנה של חבורה חופשית.

הוכחה

מרחב המתקבל מהדבקת שני מעגלים. החבורה היסודית של המרחב היא החבורה החופשית הנצורת על ידי שני איברים: לולאה סביב המעגל הראשון ולולאה סביב המעגל השני.

הוכחה קצרה המבוססת על טופולוגיה אלגברית נמצאה על ידי ריינהולד בר ופרידריך לוי.

תהי $\ \langle X\rangle$ חבורה חופשית. נסתכל על המולטיגרף עם צומת אחד ועם $|X|$ קשתות המחברות את הצומת לעצמו. זהו מרחב טופולוגי המתקבל מלקיחת $|X|$ מעגלים והדבקתם זה לזה בנקודה אחת משותפת לכל המעגלים. החבורה היסודית של המולטיגרף היא $\ \langle X\rangle$ - כל לולאה המקיפה את אחת הקשתות פעם אחת היא יוצר. כל תת-חבורה של החבורה היסודית היא חבורה יסודית של מרחב כיסוי, שגם הוא מולטיגרף. מכאן שאם נוכיח שהחבורה היסודית של מולטיגרף היא תמיד חופשית, נקבל את משפט נילסן-שרייר.

נבחר עץ פורש של המולטיגרף (להוכחת קיומו נחוצה אקסיומת הבחירה) ונמשוך את ענפיו לתוך השורש באופן רציף. פורמלית, אנחנו מסתכלים על העתקת המנה של מרחב המנה של המולטיגרף מודולו העץ הפורש (כל הנקודות על העץ מזוהות כנקודה אחת). באופן כזה נקבל מולטיגרף שקול הומוטופית למולטיגרף המקורי שיש לו צומת אחד. החבורה היסודית נשמרת תחת שקילות הומוטופית וכבר קבענו שהחבורה היסודית של מולטיגרף עם צומת אחד היא חבורה חופשית, ומכאן שכל חבורה יסודית של מולטיגרף היא חופשית.