לדלג לתוכן

מונה גדול: הבדלי גרסאות

נוספו 53 בתים ,  לפני 8 שנים
מ
אין תקציר עריכה
מ
ב[[תורת הקבוצות]], '''מונים גדולים''' הוא שם כללי לאוסף של תכונות אפשריות עבור [[מספר מונה|מספרים מונים]] [[אינסוף|אינסופיים]], שלא ניתן להוכיח כי הן [[עקביות]] במסגרת מערכת האקסיומות הסטנדרטית של תורת הקבוצות, [[ZFC]], אך לא ידוע כי הם סותרות את האקסיומות. תכונות אלו מצביעות בדרך כלל על כך שהמונה הוא גדול בהרבה ממונים אינסופיים רגילים בתורת הקבוצות (כגון [[א0|<sub>0</sub>א]], [[עוצמת הרצף]], או מונים דומים), ומכאן נובע השם. יש להעיר כי קיימים מושגים הנכללים במסגרת תורת המונים הגדולים שהם אינם מונים כלל, למשל [[אפס נסק|0<sup>#</sup>]].
 
== ההיררכיה של המונים הגדולים ==
המונים הגדולים הידועים כיום מסודרים ב[[סדר לינארי]], במובן שמונה מסוג א' נחשב גדול יותר ממונה מסוג ב' אם קיום מונה מסוג א' גורר את העקביות של קיום מונה מסוג ב'. הסדר הזה גורם לאוסף התכונות של המונים הגדולים להיות אמת מידה עבור '''חוזק ההתיישבות''' של טענות בתורת הקבוצות: ככל שאנו נדרשים להניח קיום של מונים יותר ויותר גדולים כדי להוכיח את הטענות שלנו - הן רחוקות יותר ויותר מהתורה הבסיסית של ZFC.
 
לדוגמה, [[רוברט סולביי|סולביי]] הוכיח כי אם קיים [[מונה אי נשיג]] אז ניתן (על ידי [[כפייה (לוגיקה מתמטית)|כפייה]]) לבנות מודל של ZF בו כל הקבוצות של הממשיים הן [[מידת לבג|מדידות לבג]]. בהמשך, [[שהרן שלח|שלח]] הוכיח כי דרישה זו היא הכרחית, כיוון שמתוך מודל כזה ניתן לבנות מודל שמכיל מונה אי נשיג. בכך הוא הראה כי חוזק ההתיישבות הטענה "קיים מודל של ZF בו כל הקבוצות מדידות לבג" הוא בדיוק החוזק שלקיום מונה אי-נשיג.
 
לא ידוע היום האם העובדה כי כל זוג מושגים של מונים גדולים ניתן להשוואה נובעת ממשפט מתמטי עמוק, או שזו רק תופעה מקרית.
לאחר ש[[קורט גדל|גדל]] הוכיח כי קיימים [[משפט (מתמטיקה)|משפטים]] שאינם ניתנים להוכחה או להפרכה במסגרת ZFC, הוא העלה את ההשערה שמשפטים אלו יוכרעו במודל בו יש מספיק [[מספר סודר|סודרים]]. למשל, אמנם לא ניתן להוכיח את העקביות של ZFC מתוכה אבל היא נובעת מהנחת קיום מונה אי-נשיג. הוא שיער ספציפית ש[[השערת הרצף]] תוכרע באופן הזה.
 
כיום אנו יודעים שהשערת הרצף איננה תלויה בקיום של מונים גדולים (אם כי [[אקסיומות כפייה]] חזקות גוררות <math>2^{\aleph_0} = \aleph_2</math>), אך הרעיון שמודל בו לא נמצא מונה גדול מסוים הוא בעצם חלק מוגבל ממודל בו המונה הגדול נמצא, מופיע פעמים רבות: למשל, אם <math>\kappa</math> [[מונה קומפקטי חלש|המונה הקומפקטי חלש]] הראשון אז <math>V_\kappa</math> הוא מודל עבור הטענה שאין מונים קומפקטיים חלשים. באופן עדין יותר, אם יש בעולם [[מונה מדיד]] אז [[L (תורת הקבוצות)|L]] מכיל את המונה, אך הוא לא מדיד שם - כלומר רק הנוכחות של הסודר המתאים לא מספיקה.
 
== תכונות חלוקה ==
הכללות של התכונה הזו מובילות לשלל מושגי מונים גדולים חשובים. למשל, אם נדרוש שלכל פונקציה מאוסף הזוגות הלא סדורים של <math>\kappa</math> ל-2 תהיה תת-קבוצה הומוגנית בגודל <math>\kappa</math> - נקבל [[מונה קומפקטי חלש]]. אם נחזק את הדרישה, ונדרוש שכל פונקציה מאוסף כל תתי-הקבוצות הסופיות של המונה ל-2 תהיה תת-קבוצה בגודל <math>\kappa</math> שהיא הומוגנית בכל רכיב (ערך הפונקציה עליה תלוי רק בגודל תת-הקבוצה הסופית), נקבל [[מונה רמזי]], החזק יותר.
 
מונים אלו באים לידי ביטוי בין היתר בשאלות הקשורות ל[[תורת המודלים]]. למשל, נניח כי קיים לנו מודל A ב[[שפה (לוגיקה מתמטית)|שפה]] [[בן מנייה|בת מנייה]] כלשהי, בה יש סימן יחס חד מקומי R (כלומר תת-קבוצה מובחנת של העולם), <math>|A| = \kappa > |R| = \lambda</math>. [[משפט לוונהיים-סקולם]] מבטיח לנו שניתן לשנות את גודל A כרצוננו בלי לשנות את התורה מסדר ראשון של המודל, אך מה האפשרויות עבור הזוג (|A|,|R|)? סוג זה של שאלות נקרא "בעיות שני מונים", והן נפתרות בדרך כלל על ידי שימוש במונים גדולים. למשל, אם <math>\kappa</math> מונה רמזי אז אפשר לקבל <math>|A| = \kappa, \,|R| = \aleph_0</math>. (למעשה, בשביל התוצאה הזו מספיק תכונת חלוקה חלשה יותר שמתקבלת על ידי [[מונה רובוטום]]).
 
== שיכונים אלמנטריים ==
מושג [[מונה מדיד|המונה המדיד]], שנוצר בעקבות עבודות על בעיית המידה, נעשה משמעותי וחשוב בעקבות השימוש בעל-המסנן של המדיד כדי לבנות [[שיכון אלמנטרי]] לא טריוויאלי של העולם לתוך מחלקה של עצמו, <math>j:V \rightarrow M</math>.
 
שיכון אלמנטרי הוא פונקציה חד חד ערכית שמשמרת את ה[[נוסחה|נוסחאות]] מ[[שפה מסדר ראשון|סדר ראשון]], כלומר לכל קבוצה X ולכל נוסחה:
:<math>M \models \varphi(j(X)) \iff V \models \varphi(X)</math>
לשיכון אלמנטרי לא טריוויאלי יש '''נקודה קריטית''' שזה הסודר הראשון בו <math>j(\alpha) > \alpha</math>. כאשר השיכון גדיר מתוך איברי V - הנקודה הקריטית היא מונה מדיד.
לסדרת החיזוקים האלו יש חסם ידוע, אותו הוכיח [[קנת' קונן]] - קיום שיכון אלמנטרי לא טריוויאלי מ-V ל-V אינו עקבי ב-ZFC. לא ידוע האם קיום שיכון אלמנטרי לא טריוויאלי <math>j : V_{\lambda + 1} \rightarrow V_{\lambda + 1}</math> יכול להיות עקבי. בנוסף, ההוכחה של קונן משתמשת ב[[אקסיומת הבחירה]] ולא ידוע האם קיום שיכון אלמנטרי מ-V ל-V אינו עקבי גם ללא אקסיומת הבחירה.
 
תכונות עדינות יותר מתקבלות מקיום שיכון אלמנטרי של [[מודל פנימי (תורת הקבוצות)|מודל פנימי]] בתוך V. כך למשל קיום שיכון אלמנטרי מ-L ל-L (שלא גדיר בתוך L) שקול לקיום [[אפס נסק|0<sup>#</sup>]].
[[קטגוריה:מונים]]