לדלג לתוכן

קבוצת שבת – הבדלי גרסאות

נוספו 1,537 בתים ,  לפני 8 שנים
קבוצה S היא '''קבוצת שבת''' או '''קבוצה סטציונרית''' אם היא נחתכת עם כל קבוצה סגורה ולא חסומה.
== הערות ==
הדרישה על הקופינליות של <math>\kappa</math> נועדה להבטיח כי אוסף הקבוצות הסגורות והלא חסומות יהווה [[מסנן (תורת הקבוצות)|מסנן]]. כאשר הקופינאליות של <math>\kappa</math> היא בת(לשם מנייההדיוק, קליש למצואלאמר זוגכי קבוצותאוסף סגורותהקבוצות ולאשמכילות חסומותסל"ח שחיתוכןהוא ריקמסנן). מהסיבה הזובהתאם, החיתוךאוסף שלהקבוצות קבוצתשהן אינן שבת עםהוא קבוצה[[אידאל סגורה(תורת ולא חסומה הוא קבוצת שבתהקבוצות)|אידאל]].
 
כאשר הקופינליות של <math>\kappa</math> היא בת מנייה, קל למצוא זוג קבוצות סגורות ולא חסומות שחיתוכן ריק (לדוגמה, עבור <math>\kappa = \omega</math> קבוצות המספרים הזוגיים וקבוצת המספרים האי זוגיים שתיהן סגורות ולא חסומות ובעלות חיתוך ריק).
לעומת זאת חיתוך של שתי קבוצות שבת יכול להיות ריק - למשל, קבוצת כל הסודרים מקופינליות <math>\omega</math> ב-<math>\omega_2</math> וקבוצת כל הסודרים מקופינליות <math>\omega_1</math> ב-<math>\omega_2</math> הן שתיהן קבוצות שבת וחיתוכן הוא ריק.
 
לעומת זאת חיתוך של שתי קבוצות שבת יכול להיות ריק - למשל, קבוצת כל הסודרים מקופינליות <math>\omega</math> ב-<math>\omega_2</math> וקבוצת כל הסודרים מקופינליות <math>\omega_1</math> ב-<math>\omega_2</math> הן שתיהן קבוצות שבת וחיתוכן הוא ריק.
למעשה, עבור מונה סדיר <math>\kappa</math>, כל קבוצת שבת S ניתנת לפיצול ל-<math>\kappa</math> קבוצות שבת זרות. טענה זו דורשת את [[אקסיומת הבחירה]] ואכן ב[[מודל (מתמטיקה)|מודל]] של [[אקסיומת ההכרעה|AD]], מסנן הקבוצות הסגורות והלא חסומות ב-<math>\omega_1</math> הוא על-מסנן (כלומר, כל קבוצת שבת היא סגורה ולא חסומה).
 
למעשה, עבורתוצאה מונהחזקה יותר מתקיימת: [[רוברט סולוביי]] הוכיח בשנת [[1971]] כי כל קבוצת שבת במונה סדיר <math>\kappa</math>, כל קבוצת שבת S ניתנת לפיצול ל-<math>\kappa</math> קבוצות שבת זרות. טענה זו דורשת את [[אקסיומת הבחירה]] ואכן- ב[[מודל (מתמטיקה)|מודל]] של [[אקסיומת ההכרעה|AD]], מסנן הקבוצות הסגורות והלא חסומות ב-<math>\omega_1</math> הוא על-מסנן (כלומר, כל קבוצתקבוצה שבתשם היא סגורהסל"ח ולאאו חסומהמשלימה של סל"ח).
 
ברור כי לא ניתן לפצל את <math>\kappa</math> ליותר מ-<math>\kappa</math> קבוצות זרות (במובן הזה המשפט של סולביי אופטימלי). שאלה קשה יותר היא האם ניתן לפצל את <math>\kappa</math> ליותר מ-<math>\kappa</math> קבוצות שבת שחיתוך של כל שתים מהן הוא לא קבוצת שבת. במילים אחרות, האם ב[[אלגברה בוליאנית|אלגברה הבוליאנית]] של אוסף כל תתי הקבוצות של <math>\kappa</math> מודולו אידאל הקבוצות שאינן שבת יש אנטי שרשרת בעוצמה גדולה מ-<math>\kappa</math>.
 
[[מוטי גיטיק|גיטיק]] ו[[שהרן שלח|שלח]] הוכיחו כי לכל מונה גדול או שווה מ-<math>\omega_2</math> (המונה הלא בן-מנייה השני) קיים אוסף כזה. בכיוון השני שלח הוכיח כי מתיישב, תחת הנחת קיום [[מונה גדול|מונה גדול]] מתאים (מונה וודין), כי לא קיים אוסף כזה כאשר <math>\kappa = \omega_1</math>.
 
==ראו גם ==