פתרון אנליטי – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־04:29, 15 בספטמבר 2013

במתמטיקה, פתרון אנליטי של משוואה או מערכת משוואות הוא הצגה של הפתרון באופן ישיר ומפורש, ללא צורך בקירובים או סכומים אינסופיים. בדרך כלל מועדף פתרון אנליטי על-פני פתרון נומרי, הדורש סדרת קירובים, משום שתכונות הפתרון והתלות שלו בפרמטרים קלה יותר לזיהוי וניתוח כשהפתרון מפורש.

פתרון של משוואה פולינומית או מערכת של משוואות כאלה הוא פתרון אנליטי עבור אחד המשתנים, אם הוא מציג אותו כפונקציה מפורשת של שאר המשתנים והפרמטרים. לדוגמה, את משוואת המעגל $\ x^{2}+y^{2}=R^{2}$ אפשר לפתור בצורה $y=\pm {\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$ , שבה הצבת ערכים באגף ימין נותנת מיד ערך למשתנה y שבאגף שמאל. יש משוואות רבות שלא ניתן לפתור באופן כזה.

משוואות דיפרציאליות

בהקשרים מורכבים יותר, כגון כאשר פותרים משוואה דיפרנציאלית, כל הצגה המעקרת את המרכיב הדיפרנציאלי במשוואה נחשבת לפתרון אנליטי. לדוגמה, $y=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{(n-1)!^{2}}}t^{n}$ הוא פתרון אנליטי של המשוואה $t^{2}y''-ty'+(1-t)y=0$ .

פתרון אנליטי למשוואה דיפרנציאלית אפשרי בדרך כלל רק עבור תנאי השפה הפשוטים ביותר. עבור תנאי שפה כלליים המשוואה לרוב אינה פתירה אנליטית.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 ב[[מתמטיקה]], '''פתרון אנליטי''' של [[משוואה]] או מערכת משוואות הוא הצגה של הפתרון באופן ישיר ומפורש, ללא צורך בקירובים או סכומים אינסופיים. בדרך כלל מועדף פתרון אנליטי על-פני [[אנליזה נומרית|פתרון נומרי]], הדורש סדרת קירובים, משום שתכונות הפתרון והתלות שלו בפרמטרים קלה יותר לזיהוי וניתוח כשהפתרון מפורש.
-פתרון של [[משוואה פולינומית]] או מערכת של משוואות כאלה הוא פתרון אנליטי עבור אחד המשתנים, אם הוא מציג אותו כפונקציה מפורשת של שאר המשתנים והפרמטרים. לדוגמא, את משוואת המעגל <math>\ x^2+y^2=R^2</math> אפשר לפתור בצורה <math>y = \pm \sqrt{R^2 - x^2}</math>, שבה הצבת ערכים באגף ימין נותנת מיד ערך למשתנה y שבאגף שמאל. יש משוואות רבות שלא ניתן לפתור באופן כזה.
+פתרון של [[משוואה פולינומית]] או מערכת של משוואות כאלה הוא פתרון אנליטי עבור אחד המשתנים, אם הוא מציג אותו כפונקציה מפורשת של שאר המשתנים והפרמטרים. לדוגמה, את משוואת המעגל <math>\ x^2+y^2=R^2</math> אפשר לפתור בצורה <math>y = \pm \sqrt{R^2 - x^2}</math>, שבה הצבת ערכים באגף ימין נותנת מיד ערך למשתנה y שבאגף שמאל. יש משוואות רבות שלא ניתן לפתור באופן כזה.
 ==משוואות דיפרציאליות==
-בהקשרים מורכבים יותר, כגון כאשר פותרים [[משוואה דיפרנציאלית]], כל הצגה המעקרת את המרכיב הדיפרנציאלי במשוואה נחשבת לפתרון אנליטי. לדוגמא,
+בהקשרים מורכבים יותר, כגון כאשר פותרים [[משוואה דיפרנציאלית]], כל הצגה המעקרת את המרכיב הדיפרנציאלי במשוואה נחשבת לפתרון אנליטי. לדוגמה,
 <math>y = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!^2}t^n</math> הוא פתרון אנליטי של המשוואה <math>t^2 y'' - t y' + (1-t) y = 0</math>.