פונקציה רציפה (טופולוגיה)

בטופולוגיה, פונקציה רציפה היא פונקציות בין מרחבים טופולוגיים, שעבורה המקור של קבוצה פתוחה הוא קבוצה פתוחה. תכונה זו מהווה הכללה למושג הרציפות של פונקציות ממשיות, והיא מרכזית במידה כזו שלמעשה כל המשפטים הטופולוגיים על פונקציות עוסקים בפונקציות רציפות.

כל פונקציה מ-X היא רציפה, אם ורק אם X בעלת טופולוגיה דיסקרטית. כל פונקציה אל Y היא רציפה אם ורק אם Y בעלת טופולוגיה טריוויאלית. כל פונקציה רציפה היא רציפה במידה שווה.

מבוא

הדוגמה החשובה ביותר לרציפות היא זו של פונקציות ממשיות; עבורן, פונקציה רציפה בנקודה $\ x_{0}$ היא פונקציה שהערכים שלה בנקודות קרובות ל- $\ x_{0}$ קרובים לערך שלה בנקודה עצמה. רעיון זה, למרות שהוא מנוסח בלשון של 'קרבה' שיש לה משמעות רק במרחב מטרי, ניתן להכללה למרחב טופולוגי כלשהו, אם נחליף את הדרישה על המרחק בדרישה שיש "הרבה" קבוצות פתוחות שמכילות את שתי הנקודות. הכללת מושג הרציפות למרחב טופולוגי כלשהו נעשית באופן דומה להכללת מושג הגבול ממרחב מטרי למרחב טופולוגי כלשהו.

הגדרה

יהיו $\ X,Y$ מרחבים טופולוגיים, ו-$\ f:X\rightarrow Y$ פונקציה. אומרים ש- $\ f$ רציפה בנקודה $\ x_{0}\in X$, אם לכל קבוצה פתוחה $\ f(x_{0})\in U\subseteq Y$ קיימת קבוצה פתוחה $\ x_{0}\in V\subseteq X$, כך ש- $\ f(V)\subseteq U$.

הפונקציה רציפה סתם, או רציפה בכל המרחב, אם היא רציפה בכל נקודה $\ x_{0}\in X$. ניסוח שקול וקצר יותר:

$\ f:X\rightarrow Y$ היא פונקציה רציפה אם לכל קבוצה פתוחה $\ U\subseteq Y$, הקבוצה $\ f^{-1}(U)=\{x\in X:f(x)\in U\}\subseteq X$ פתוחה.

בפרט, אם X,Y הם מרחבים מטריים, פונקציה $f:X\rightarrow Y$ היא רציפה אם לכל כדור סביב x קיים כדור סביב $\ f(x)$ כך ש-f מעתיקה את הכדור הראשון אל תוך השני. במלים אחרות, אם לכל x ולכל $\ \epsilon >0$ קיים $\ \delta >0$ כך שאם $\ d(x,y)<\delta$ אז $\ d(f(x),f(y))<\epsilon$.

פונקציות פתוחות

התכונה הדואלית לרציפות היא היות הפונקציה פונקציה פתוחה, דהיינו פונקציה כזו שלכל $\ V\subseteq X$ פתוחה, הקבוצה $\ f(V)\subseteq Y$ גם היא פתוחה. באופן דומה מגדירים גם תבנית:עוגן2. יש לציין שלו היינו מחליפים את הקבוצות הפתוחות בהגדרת הרציפות בקבוצות סגורות, הייתה מתקבלת אותה הגדרה. לעומת זאת, פונקציה פתוחה אינה בהכרח סגורה, ולהפך.

פונקציה הפיכה (כלומר, שהיא חד-חד-ערכית וגם על), שגם היא וגם ההפכית לה שתיהן רציפות, נקראת הומיאומורפיזם בין המרחבים הטופולוגיים.

משפט

התכונות הבאות לגבי העתקה $\ f:X\to Y$ בין שני מרחבים טופולוגיים הן שקולות:

1. $\ f$ היא פונקציה רציפה.
2. התכונה שבהגדרה מתקיימת לכל קבוצה בתת בסיס של הטופולוגיה ב-$\ Y$ .
3. התכונה שבהגדרה נכונה אם מחליפים כל מופע של "קבוצה פתוחה" ב"קבוצה סגורה".
4. $\ f$ רציפה נקודתית בכל $\ x$ במרחב. כלומר, לכל $\ x$, לכל סביבה $\ V$ של $\ f(x)$ קיימת סביבה $\ W$ של $\ x$ כך ש-$\ f(W)\subseteq V$.
5. לכל $\ A\subseteq X$ מתקיים: $\ f\!\left({\overline {A}}\right)\subseteq {\overline {f(A)}}$ כאשר $\ {\overline {B}}=\operatorname {cl} (B)$ הוא הסגור של קבוצה $\ B$.

ראו גם

• טופולוגיה
• פונקציה
• הומיאומורפיזם
• פונקציה מדידה