צורה גאומטרית – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־22:08, 12 באוקטובר 2013

צורה גאומטרית (או צורה הנדסית) היא קבוצה אוסף של נקודות במרחב. לרוב הכוונה למרחב האוקלידי הדו-ממדי (המישור) או התלת-ממדי (במקרה הזה נהוג גם השם גוף גאומטרי או גוף הנדסי).

ממד

לצורות גאומטריות רבות יש ממד. להלן דוגמאות נפוצות לצורות, בהתאם לממד שלהן:

צורות חד-ממדיות: קטעים, עקומות (כגון ציקלואידה ופרבולה).
צורות דו-ממדיות: עיגולים, אליפסות), מצולעים.
צורות תלת-ממדיות: כדורים, פאונים, חרוטים.
צורות מממד גבוה יותר: טסרקט הוא הכללה למרחב ארבע-ממדי של הקובייה המוכרת בגאומטריה של המרחב התלת-ממדי.

פרקטלים הם צורות גאומטריות מורכבות, בעלות תכונות הנראות חריגות למי שמורגל בצורות הפשוטות. כך, למשל, הממד של פרקטל אינו תמיד מספר שלם, והוא קרוי ממד האוסדורף. הממד של פתית השלג של קוך, פרקטל המשוכן במרחב דו-ממדי, הוא 1.262 בקירוב.

גודל

מאפיין נוסף של צורה גאומטרית הוא הגודל שלה. לצורה חד-ממשית מאפיין זה הוא אורך הצורה. בצורה דו-ממדית נתעניין בהיקף הצורה ובשטחה. בצורה תלת-ממדית נתעניין בשטח הפנים של הצורה ובנפחה.

בנייה

בגאומטריה הקלאסית בנייה של צורה גאומטרית נעשית באמצעות סרגל ומחוגה בלבד. מגבלה זו מאפשרת בנייה רק של חלק מהצורות. בנייה של מעגל או ריבוע נעשית בקלות רבה. מצולע משוכלל ניתן לבנות אם ורק אם כל הגורמים הראשוניים האי-זוגיים של מספר הצלעות הם מספרי פרמה שונים^[1]. לורנצו מסקרוני הוכיח, בספר שפרסם בשנת 1797, שכל צורה שניתן לבנות בסרגל ומחוגה ניתן לבנות גם על ידי מחוגות בלבד.^[2] קוואדרטריקס הוא דוגמה לעקום שאי אפשר לבנות באמצעות סרגל ומחוגה בלבד.

שקילות בין צורות

בגאומטריה אין מתעניינים בתכונות של צורה המשתנות לאחר שמזיזים, מסובבים או משקפים אותן (כפי שעושה מראה). שתי צורות שניתן להגיע מן האחת לשנייה על ידי שימוש בפעולות אלו (מבחינה פורמלית, יש איזומטריה המעתיקה את האחת על השנייה) נקראות חופפות, ונחשבות מבחינה גאומטרית כצורות זהות. פורמלית, ניתן להגדיר צורה כמחלקת שקילות של יחס החפיפה על תת-קבוצות במרחב.

יחס חזק פחות מיחס החפיפה הוא יחס הדמיון. שתי צורות הן דומות אם ניתן לכווץ או לנפח צורה אחת כך שתהיה חופפת לצורה השנייה. בהקשרים מסוימים צורות דומות נחשבות זהות.

שתי שקילויות חשובות נוספות שניתן להגדיר על צורות מגיעות מתחום הטופולוגיה. תחום זה אינו מתעניין בתכונות של צורות שמשתנות לאחר עיוותים רציפים. שקילויות אלו הן ההומיאומורפיות (החזקה יותר) וההומוטופיות (החלשה יותר). מבחינה טופולוגית כדור וקוביה נחשבים זהים, אבל הם שונים למשל מן הטורוס.

הערות שוליים

^ גדי אלכסנדרוביץ', אז מתי אפשר לבנות מצולע משוכלל עם סרגל ומחוגה, ומה הקשר למספרי פרמה?, באתר "לא מדויק", שגיאה: זמן שגוי
^ Geometric Construction with the Compass Alone, באתר Cut the Knot

[1] גדי אלכסנדרוביץ', אז מתי אפשר לבנות מצולע משוכלל עם סרגל ומחוגה, ומה הקשר למספרי פרמה?, באתר "לא מדויק", שגיאה: זמן שגוי

[2] Geometric Construction with the Compass Alone, באתר Cut the Knot

[1]

[2]

@@ שורה 15: / שורה 15: @@
 ==בנייה==
-בגאומטריה הקלאסית בנייה של צורה גאומטרית נעשית באמצעות [[בנייה בסרגל ובמחוגה|סרגל ומחוגה]] בלבד. מגבלה זו מאפשרת בנייה רק של חלק מהצורות. בנייה של [[מעגל]] או [[ריבוע]] נעשית בקלות רבה. [[מצולע משוכלל]] ניתן לבנות [[אם ורק אם]] כל הגורמים ה[[מספר ראשוני|ראשוניים]] ה[[מספר זוגי|אי-זוגיים]] של מספר ה[[צלע (גאומטריה)|צלעות]] הם [[מספר פרמה|מספרי פרמה]] שונים{{הערה|{{לא מדויק|184|אז מתי אפשר לבנות מצולע משוכלל עם סרגל ומחוגה, ומה הקשר למספרי פרמה?}}}}. [[לורנצו מסקרוני]] הוכיח, בספר שפרסם בשנת [[1797]], שכל צורה שניתן לבנות בסרגל ומחוגה ניתן לבנות גם על ידי מחוגות בלבד.{{הערה|[http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/compass.shtml Geometric Construction with the Compass Alone], באתר Cut the Knot}} [[קוואדרטריקס]] הוא עקום שאי אפשר לבנות באמצעות סרגל ומחוגה בלבד.
+בגאומטריה הקלאסית בנייה של צורה גאומטרית נעשית באמצעות [[בנייה בסרגל ובמחוגה|סרגל ומחוגה]] בלבד. מגבלה זו מאפשרת בנייה רק של חלק מהצורות. בנייה של [[מעגל]] או [[ריבוע]] נעשית בקלות רבה. [[מצולע משוכלל]] ניתן לבנות [[אם ורק אם]] כל הגורמים ה[[מספר ראשוני|ראשוניים]] ה[[מספר זוגי|אי-זוגיים]] של מספר ה[[צלע (גאומטריה)|צלעות]] הם [[מספר פרמה|מספרי פרמה]] שונים{{הערה|{{לא מדויק|184|אז מתי אפשר לבנות מצולע משוכלל עם סרגל ומחוגה, ומה הקשר למספרי פרמה?}}}}. [[לורנצו מסקרוני]] הוכיח, בספר שפרסם בשנת [[1797]], שכל צורה שניתן לבנות בסרגל ומחוגה ניתן לבנות גם על ידי מחוגות בלבד.{{הערה|[http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/compass.shtml Geometric Construction with the Compass Alone], באתר Cut the Knot}} [[קוואדרטריקס]] הוא דוגמה לעקום שאי אפשר לבנות באמצעות סרגל ומחוגה בלבד.
 ==שקילות בין צורות==