משוואה ממעלה רביעית – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Legobot (שיחה | תרומות)
מ בוט: מעביר קישורי בינויקי לויקינתונים - d:q476776
שורה 10: שורה 10:
==היסטוריה==
==היסטוריה==
{{ערך מורחב|ערך=[[היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות#משוואה ממעלה שלישית או רביעית|היסטוריה של פתרון המשוואות ממעלה שלישית ורביעית]]}}
{{ערך מורחב|ערך=[[היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות#משוואה ממעלה שלישית או רביעית|היסטוריה של פתרון המשוואות ממעלה שלישית ורביעית]]}}
את הפתרון של משוואות ממעלה רביעית מצא [[לודוביקו פרארי]] (Ludovico Ferrari) ה[[איטליה|איטלקי]], בשנת [[1540]], כשלושים שנה אחרי שנמצא הפתרון ל[[משוואה ממעלה שלישית]]. בעקבות פתרונות אלו, האמינו המתמטיקאים של סוף תקופת ה[[רנסאנס]] שאפשר יהיה לפתור גם משוואות ממעלה גבוהה יותר באותו אופן, ומאמצים ניכרים הושקעו בבעיה זו. יותר ממאתיים שנה חלפו עד ש[[נילס הנריק אבל]] הראה שפתרון כזה אינו אפשרי, ו[[אווריסט גלואה]] הניח את היסודות ל[[תורת גלואה]], שמסבירה את ההבדל היסודי בין משוואות ממעלה חמישית ומעלה (שאינן ניתנות לפתרון על ידי פעולות של חיבור, חיסור, כפל וחילוק והוצאת שורש) ובין משוואות ממעלה נמוכה יותר.
את הפתרון של משוואות ממעלה רביעית מצא [[לודוביקו פרארי]] (Ludovico Ferrari) ה[[איטליה|איטלקי]], בשנת [[1540]], כשלושים שנה אחרי שנמצא הפתרון ל[[משוואה ממעלה שלישית]]. בעקבות פתרונות אלו, האמינו המתמטיקאים של סוף תקופת ה[[רנסאנס]] שאפשר יהיה לפתור גם משוואות ממעלה גבוהה יותר באותו אופן, ומאמצים ניכרים הושקעו בבעיה זו. יותר ממאתיים שנה חלפו עד ש[[פאולו רופיני]] ו[[נילס הנריק אבל]] הראה שפתרון כזה אינו אפשרי, ו[[אווריסט גלואה]] הניח את היסודות ל[[תורת גלואה]], שמסבירה את ההבדל היסודי בין משוואות ממעלה חמישית ומעלה (שאינן ניתנות לפתרון על ידי פעולות של חיבור, חיסור, כפל וחילוק והוצאת שורש) ובין משוואות ממעלה נמוכה יותר.


==פתרון משוואה ממעלה רביעית==
==פתרון משוואה ממעלה רביעית==

גרסה מ־00:15, 9 בפברואר 2014

גרף של פולינום מדרגה 4. לפונקציה ארבעה שורשים, והם מהווים פתרון של המשוואה.

משוואה ממעלה רביעית היא משוואה מהצורה הבאה:

כאשר הם מקדמים בשדה נתון (למשל, המספרים הרציונליים).

אם השדה ממאפיין שונה מ- 2, אפשר להציב ולקבל משוואה ממעלה רביעית שבה המקדם של הוא אפס.

היסטוריה

ערך מורחב – היסטוריה של פתרון המשוואות ממעלה שלישית ורביעית

את הפתרון של משוואות ממעלה רביעית מצא לודוביקו פרארי (Ludovico Ferrari) האיטלקי, בשנת 1540, כשלושים שנה אחרי שנמצא הפתרון למשוואה ממעלה שלישית. בעקבות פתרונות אלו, האמינו המתמטיקאים של סוף תקופת הרנסאנס שאפשר יהיה לפתור גם משוואות ממעלה גבוהה יותר באותו אופן, ומאמצים ניכרים הושקעו בבעיה זו. יותר ממאתיים שנה חלפו עד שפאולו רופיני ונילס הנריק אבל הראה שפתרון כזה אינו אפשרי, ואווריסט גלואה הניח את היסודות לתורת גלואה, שמסבירה את ההבדל היסודי בין משוואות ממעלה חמישית ומעלה (שאינן ניתנות לפתרון על ידי פעולות של חיבור, חיסור, כפל וחילוק והוצאת שורש) ובין משוואות ממעלה נמוכה יותר.

פתרון משוואה ממעלה רביעית

כפי שהוסבר במבוא, אפשר להניח שהמקדם של במשוואה הוא 0. נפתור, אם כן, את המשוואה

.

ננסה לפרק את הפולינום למכפלה של שני גורמים ממעלה שנייה:

.

מהשוואת המקדמים מתקבל:

,

ובפרט ו- .

אם נחבר ונחסר את שני השוויוניים הראשונים, נקבל:

ו- ,

ומן השוויון על r נובע:

וזו משוואה ממעלה שלישית בנעלם . לאחר שפותרים אותה נותר להציב בביטויים הקודמים כדי לקבל את B ו- C, ואז מתקבלים השורשים למשוואה המקורית על ידי פתרון משוואה ממעלה שנייה.

הפתרון דורש הוצאות שורש בסדר הבא: ראשית, יש לפתור משוואה ממעלה שלישית (ולשם כך יש להוציא שורש שני, ואז שורש שלישי). אחר כך מוציאים שורש שני (כדי לקבל את A), ושורש שני נוסף (כדי לקבל את השורש x). המספרים 2,3,2,2 עומדים בהתאמה לסדרים של גורמי ההרכב של החבורה הסימטרית מסדר 4 (ראו חבורה פתירה), ומדגימים את הקשר בין תת-השדות של שדה פיצול לתת-החבורות של חבורת גלואה (ראו תורת גלואה).

משוואה דו-ריבועית

אם גם המקדם של וגם המקדם של הם אפס, אז המשוואה נקראת משוואה דו-ריבועית, והיא למעשה משוואה ריבועית במשתנה ; אלא שזה אינו המקרה הכללי. משוואה דו-ריבועית כזו אפשר לפתור בקלות על ידי הצבת , ההופכת את המשוואה למשוואה ריבועית במשתנה t.

דוגמה למשוואה דו-ריבועית: . כאשר מציבים בה , מתקבלת המשוואה הריבועית הבאה:

פתרונותיה הם . לכן הפתרונות למשוואה המקורית הם .

תבנית:Link FA תבנית:Link GA