מספר שמח – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הוספת קישור חיצוני ליישום שמקבל מספר טבעי כקלט וכותב אם המספר שמח כפלט
תגיות: עריכה חזותית חשד למילים בעייתיות
שורה 3: שורה 3:


== הגדרה ==
== הגדרה ==

אל תנסו את זה, זה ממש דפוק


בניסוח פורמלי יותר: כאשר נתון מספר טבעי <math>\ n=n_0</math>, נגדיר את ה[[סדרה]] <math>\ n_1</math>, <math>\ n_2</math>, ... שבה <math>\ n_{i+1}</math> הוא סכום ריבועי הספרות של <math>\ n_i</math>. {{כ}}<math>\ n</math> הוא מספר שמח [[אם ורק אם]] קיים <math>\ i</math> שעבורו <math>\ n_i = 1</math>.
בניסוח פורמלי יותר: כאשר נתון מספר טבעי <math>\ n=n_0</math>, נגדיר את ה[[סדרה]] <math>\ n_1</math>, <math>\ n_2</math>, ... שבה <math>\ n_{i+1}</math> הוא סכום ריבועי הספרות של <math>\ n_i</math>. {{כ}}<math>\ n</math> הוא מספר שמח [[אם ורק אם]] קיים <math>\ i</math> שעבורו <math>\ n_i = 1</math>.

גרסה מ־20:30, 12 בפברואר 2014

הכינוי "מספר שמח" (באנגלית: Happy number) מתאר מספרים שעבורם התהליך של חישוב סכום ריבועי הספרות (בבסיס 10), וחוזר חלילה, מסתיים במספר 1. במילים אחרות, אם נחבר את סכום ריבועי הספרות שלו שוב ושוב נקבל בסופו של דבר 1.

הגדרה

אל תנסו את זה, זה ממש דפוק

בניסוח פורמלי יותר: כאשר נתון מספר טבעי , נגדיר את הסדרה , , ... שבה הוא סכום ריבועי הספרות של . ‏ הוא מספר שמח אם ורק אם קיים שעבורו .

דוגמה: 19 הוא מספר שמח, משום שמתקיימת בו הסדרה הבאה:

תחילתה של סדרת המספרים השמחים היא:

1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100.

הסבר

נגדיר פונקציה כך ש- הוא סכום ריבועי הספרות של .

הריבוע של הספרה הגדולה ביותר, 9, הוא 81, ולכן סכום הריבועים של מספר טבעי n, שלו יש m ספרות, הוא לא יותר מאשר 81m. לכל מתקיים : כך שבתהליך זה כל מספר גדול מ-1000 הולך וקטן, ובפרט קטן מספר הספרות של איברי הסדרה. כאשר הסדרה מגיעה למספר קטן מ-1000, המספר שסכום ריבועי ספרותיו הוא הגדול ביותר הוא 999, והסכום המתקבל הוא 243.

  • בטווח 100 עד 243, המספר 199 מייצר את הערך הבא בתור בגודלו, 163.
  • בטווח 100 עד 163, המספר 159 מייצר את הערך הבא בתור בגודלו, 107.
  • בטווח 100 עד 107, המספר 107 מייצר את הערך הבא בתור בגודלו, 50.

בהתאם לכך, כל מספר גדול מ-99 הולך וקטן בתהליך זה, כלומר: לכל מספר שנבדוק, נגיע בשלב כלשהו בסדרה למספר קטן מ-100. בדיקה של כל המספרים בטווח 1 עד 99 מגלה שכל מספר בטווח זה הוא מספר שמח או שהוא מגיע למחזור המתואר לעיל.

מכאן נובע שהפעלה חוזרת של f מוכרחה להסתיים או בנקודת השבת (היינו, מספר m שעבורו ), או במחזור סופי.

נקודת השבת היחידה היא , ומספרים שעבורם התהליך מסתיים בה, נקראים "שמחים". בדיקה ישירה של המספרים הקטנים מראה שכל מספר שאינו שמח מגיע למחזור באורך 8, .

מקיומם של מספר שמח אחד ומספר אחד שאינו שמח, קל לראות שישנם אינסוף מספרים "שמחים", ואינסוף מספרים שאינם כאלה. אם k הוא מספר שמח, הרי מספר המורכב מ-k מופעים של הספרה 1 וממספר מופעים כלשהו של הספרה 0 גם הוא שמח (משום שסכום ריבועי ספרותיו הוא k), כלומר מצאנו אינסוף מספרים שמחים. באופן דומה ניתן לייצר אינסוף מספרים שאינם שמחים, בעקבות מספר נתון אחד שאינו שמח.

מספרים שמחים נוספים

  • "מספר שמח-ראשוני" הוא מספר שהינו גם מספר שמח וגם מספר ראשוני. להלן המספרים הקטנים מ-500: 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487.
  • נכון ל-2010, המספר השמח הגדול ביותר שהתגלה הוא מספר מרסן הראשוני . זהו מספר בן 12,837,064 ספרות עשרוניות.
  • חיפוש ממוחשב עד ל-1020 מעלה כי בערך 12% מהמספרים הם "שמחים", אך הצפיפות המדויקת אינה ידועה.

קישורים חיצוניים