מעגל תשע הנקודות – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 5: שורה 5:
* אמצעי הקטעים המחברים בין קודקודי המשולש לנקודת מפגש הגבהים.
* אמצעי הקטעים המחברים בין קודקודי המשולש לנקודת מפגש הגבהים.


בשנת [[1765]] גילה [[לאונרד אוילר]] שתשע הנקודות הללו נמצאות על מעגל אחד. ב-[[1822]] גילה [[קרל וילהלם פיירבך]], שניתן להעביר מעגל דרך אמצעי הצלעות ועקבי הגבהים. זמן קצר לאחר מכן גילה [[אולרי טרקם]] שהמעגל עובר גם דרך אמצעי הקטעים שבין הקודקודים למפגש הגבהים, והוכיח את קיומו של המעגל.
בשנת [[1765]] גילה [[לאונרד אוילר]] שתשע הנקודות הללו נמצאות על מעגל אחד. ב-[[1822]] גילה [[קרל וילהלם פיירבך]], שניתן להעביר מעגל דרך אמצעי הצלעות ועקבי הגבהים, והראה שהמעגל הזה משיק לארבעת המעגלים המשיקים למשולש. זמן קצר לאחר מכן גילה [[אולרי טרקם]] שהמעגל עובר גם דרך אמצעי הקטעים שבין הקודקודים למפגש הגבהים, והוכיח את קיומו של המעגל.


בחלק מהמשולשים מצטמצם מספר הנקודות, עקב התלכדותן של שתי נקודות לאחת: ב[[משולש שווה-שוקיים]] ישנן שמונה נקודות (משום שבאחת הצלעות עקב הגובה מתלכד עם אמצע הצלע), ב[[משולש שווה-צלעות]] - שש (משום שבכל הצלעות עקב הגובה מתלכד עם אמצע הצלע), ב[[משולש ישר-זווית]] - חמש ובמשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים ("[[משולש כסף]]") - ארבע.
בחלק מהמשולשים מצטמצם מספר הנקודות, עקב התלכדותן של שתי נקודות לאחת: ב[[משולש שווה-שוקיים]] ישנן שמונה נקודות (משום שבאחת הצלעות עקב הגובה מתלכד עם אמצע הצלע), ב[[משולש שווה-צלעות]] - שש (משום שבכל הצלעות עקב הגובה מתלכד עם אמצע הצלע), ב[[משולש ישר-זווית]] - חמש ובמשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים ("[[משולש כסף]]") - ארבע.


במשולש שווה-צלעות, מעגל תשע הנקודות מתלכד עם ה[[מעגל חסום|מעגל החסום]] במשולש.
במשולש שווה-צלעות, מעגל תשע הנקודות מתלכד עם ה[[מעגל חסום|מעגל החסום]] במשולש.

==תכונות==
==תכונות==
* ה[[מרכז (גאומטריה)|מרכז]] של מעגל תשע הנקודות נמצא על [[ישר אוילר]] (ישר העובר דרך מפגש ה[[תיכון (גאומטריה)|תיכונים]], מפגש הגבהים ומרכז ה[[מעגל חוסם|מעגל החוסם]] את המשולש).
* ה[[מרכז (גאומטריה)|מרכז]] של מעגל תשע הנקודות נמצא על [[ישר אוילר]] (ישר העובר דרך מפגש ה[[תיכון (גאומטריה)|תיכונים]], מפגש הגבהים ומרכז ה[[מעגל חוסם|מעגל החוסם]] את המשולש).

גרסה מ־17:51, 13 בפברואר 2014

מעגל תשע הנקודות. תשע הנקודות מסומנות בכחול, הגבהים בירוק והמעגל באדום

בגאומטריה, מעגל תשע הנקודות (נקרא גם "מעגל אוילר" או "מעגל פיירבך") הוא מעגל העובר במשולש כלשהו דרך תשע הנקודות הבאות:

  • אמצעי הצלעות
  • עקבי הגבהים, כלומר הנקודות שבהן הגבהים נפגשים עם הצלעות
  • אמצעי הקטעים המחברים בין קודקודי המשולש לנקודת מפגש הגבהים.

בשנת 1765 גילה לאונרד אוילר שתשע הנקודות הללו נמצאות על מעגל אחד. ב-1822 גילה קרל וילהלם פיירבך, שניתן להעביר מעגל דרך אמצעי הצלעות ועקבי הגבהים, והראה שהמעגל הזה משיק לארבעת המעגלים המשיקים למשולש. זמן קצר לאחר מכן גילה אולרי טרקם שהמעגל עובר גם דרך אמצעי הקטעים שבין הקודקודים למפגש הגבהים, והוכיח את קיומו של המעגל.

בחלק מהמשולשים מצטמצם מספר הנקודות, עקב התלכדותן של שתי נקודות לאחת: במשולש שווה-שוקיים ישנן שמונה נקודות (משום שבאחת הצלעות עקב הגובה מתלכד עם אמצע הצלע), במשולש שווה-צלעות - שש (משום שבכל הצלעות עקב הגובה מתלכד עם אמצע הצלע), במשולש ישר-זווית - חמש ובמשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים ("משולש כסף") - ארבע.

במשולש שווה-צלעות, מעגל תשע הנקודות מתלכד עם המעגל החסום במשולש.

תכונות

ארבעת המעגלים המשיקים
  • המעגל משיק לארבעת המעגלים המשיקים למשולש (המעגל החסום ושלושת המעגלים המשיקים לצלעות מבחוץ). תכונה זו מודגמת באיור משמאל.

קישורים חיצוניים