מטריצה אוניטרית – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־17:20, 18 באפריל 2014

באלגברה לינארית, מטריצה אוניטרית היא מטריצה ריבועית מעל המספרים המרוכבים המקיימת את התנאי

A^{*}A=AA^{*}=I

כלומר

{\overline {A^{T}}}A=A{\overline {A^{T}}}=I_{n}\,

כאשר I היא מטריצת היחידה, ו- $\ A^{*}=A^{\dagger }={\overline {A^{T}}}$ הצמוד ההרמיטי של מטריצה A.

מטריצה אוניטרית היא מקרה פרטי של מטריצה נורמלית.

מטריצה אוניטרית שכל מרכיביה הם מספרים ממשיים היא מטריצה אורתוגונלית.

תכונות של מטריצות אוניטריות

$A\,$ מטריצה הפיכה ו- $A^{-1}={\overline {A^{T}}}\,$
מטריצה אוניטרית שומרת מכפלה פנימית: $\langle Ax,Ay\rangle =\langle x,A^{*}Ay\rangle =\langle x,Iy\rangle =\langle x,y\rangle$ (כאן נעזרנו בתכונות הצמוד ההרמיטי במכפלה פנימית)
מטריצה אוניטרית שומרת על נורמה, $\ \|Ax\|=\|x\|$ . כתוצאה מכך, ערך מוחלט של כל ערך עצמי שלה הוא 1.
אם A אוניטרית $A^{*}\,$ ו- ${\overline {A}}$ גם הן אוניטריות

חבורת המטריצות האוניטריות

שגיאות פרמטריות בתבנית:להשלים
פרמטרי חובה [ נושא ] חסרים

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

קבוצת המטריצות האוניטריות מסדר n מהווה חבורה כאשר הפעולה הבינארית של החבורה הינה כפל מטריצות ומסומנת $\mathrm {U} (n)$ . תת-חבורת המטריצות האוניטריות עם דטרמיננטה השווה ל-1 נקראת "חבורת המטריצות האוניטריות המיוחדות" ומסומנת $\mathrm {SU} (n)$ .

ראו גם

אופרטור אוניטרי

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-ב[[אלגברה לינארית]], '''מטריצה יוניטרית''' היא [[מטריצה ריבועית]] מעל [[מספר מרוכב|המספרים המרוכבים]] המקיימת את התנאי
+ב[[אלגברה לינארית]], '''מטריצה אוניטרית''' היא [[מטריצה ריבועית]] מעל [[מספר מרוכב|המספרים המרוכבים]] המקיימת את התנאי
 : <math> A^* A = A A^* = I</math> כלומר <math>\overline{A^T} A = A\overline{A^T} = I_n\,</math>
 כאשר I היא [[מטריצת היחידה]], ו- <math>\ A^* = A^\dagger = \overline{A^T}</math> [[מטריצה צמודה|הצמוד ההרמיטי]] של מטריצה A.
-מטריצה יוניטרית היא מקרה פרטי של [[מטריצה נורמלית]].
+מטריצה אוניטרית היא מקרה פרטי של [[מטריצה נורמלית]].
-מטריצה יוניטרית שכל מרכיביה הם מספרים ממשיים היא [[מטריצה אורתוגונלית]].
+מטריצה אוניטרית שכל מרכיביה הם מספרים ממשיים היא [[מטריצה אורתוגונלית]].
-==תכונות של מטריצות יוניטריות==
+==תכונות של מטריצות אוניטריות==
 * <math>A\,</math> [[מטריצה הפיכה]] ו-<math>A^{-1} = \overline{A^T}\,</math>
-* מטריצה יוניטרית שומרת [[מכפלה פנימית]]: <math> \langle Ax,Ay \rangle = \langle x , A^{*}Ay \rangle = \langle x , Iy \rangle = \langle x,y \rangle</math> (כאן נעזרנו בתכונות [[אופרטור הרמיטי|הצמוד ההרמיטי]] ב[[מכפלה פנימית]])
+* מטריצה אוניטרית שומרת [[מכפלה פנימית]]: <math> \langle Ax,Ay \rangle = \langle x , A^{*}Ay \rangle = \langle x , Iy \rangle = \langle x,y \rangle</math> (כאן נעזרנו בתכונות [[אופרטור הרמיטי|הצמוד ההרמיטי]] ב[[מכפלה פנימית]])
-* מטריצה יוניטרית שומרת על [[נורמה (מתמטיקה)|נורמה]], <math>\ \| A x \| = \| x \|</math>. כתוצאה מכך, ערך מוחלט של כל ערך עצמי שלה הוא 1.
+* מטריצה אוניטרית שומרת על [[נורמה (מתמטיקה)|נורמה]], <math>\ \| A x \| = \| x \|</math>. כתוצאה מכך, ערך מוחלט של כל ערך עצמי שלה הוא 1.
-* אם A יוניטרית <math>A^*\,</math> ו-<math>\overline{A}</math> גם הן יוניטריות
+* אם A אוניטרית <math>A^*\,</math> ו-<math>\overline{A}</math> גם הן אוניטריות
-==חבורת המטריצות היוניטריות==
+==חבורת המטריצות האוניטריות==
 {{להשלים}}
-קבוצת המטריצות היוניטריות מסדר n מהווה [[חבורה]] כאשר הפעולה הבינארית של החבורה הינה כפל מטריצות ומסומנת <math>\mathrm{U}(n)</math>. [[תת-חבורה|תת-חבורת]] המטריצות היוניטריות עם [[דטרמיננטה]] השווה ל-1 נקראת "חבורת המטריצות היוניטריות המיוחדות" ומסומנת <math>\mathrm{SU}(n)</math>.
+קבוצת המטריצות האוניטריות מסדר n מהווה [[חבורה]] כאשר הפעולה הבינארית של החבורה הינה כפל מטריצות ומסומנת <math>\mathrm{U}(n)</math>. [[תת-חבורה|תת-חבורת]] המטריצות האוניטריות עם [[דטרמיננטה]] השווה ל-1 נקראת "חבורת המטריצות האוניטריות המיוחדות" ומסומנת <math>\mathrm{SU}(n)</math>.
 == ראו גם ==
-* [[אופרטור יוניטרי]]
+* [[אופרטור אוניטרי]]
 {{אלגברה לינארית}}

נושאים באלגברה ליניארית
מושגי יסוד	שדה • מרחב וקטורי • משוואה ליניארית • מערכת משוואות ליניאריות • העתקה ליניארית • מטריצה
וקטורים	סקלר • כפל בסקלר • צירוף ליניארי • תלות ליניארית • קבוצה פורשת • בסיס • וקטור קואורדינטות • ממד
מטריצות	כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דירוג מטריצות • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצת מעבר • מטריצה משולשית • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן
העתקות	העתקה ליניארית • קואורדינטות • מטריצה מייצגת • גרעין • אנדומורפיזם • איזומורפיזם • העתקה אפינית • העתקה פרויקטיבית
מרחבי מכפלה פנימית	מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אורתוגונליות • מטריצה סימטרית • אופרטור הרמיטי • אופרטור אוניטרי • טרנספורמציה נורמלית • נורמה • מטריקה
תבניות	תבנית ביליניארית • תבנית סימטרית • תבנית הרמיטית • תבנית סימפלקטית • חפיפת מטריצות • משפט סילבסטר • תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית • אוריינטציה • צפיפות • טנזור