שדה (מבנה אלגברי) – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־10:59, 22 באפריל 2014

במתמטיקה, שדה הוא מבנה אלגברי חשוב. הדוגמאות המוכרות ביותר של שדות הם שדה המספרים הרציונליים, שדה המספרים הממשיים ושדה המספרים המרוכבים. לשדות סופיים תפקיד חשוב בקומבינטוריקה, תורת הקודים והצפנה.

היסטוריה

שדה הוא מבנה אלגברי שבו אפשר לבצע את ארבע פעולות החשבון המוכרות. את ההגדרה הכללית של המושג הציע היינריך מרטין ובר ב-1893, בעקבות ריכרד דדקינד שב-1877 קרא "שדה" לקבוצה של מספרים (מרוכבים) הסגורה לארבע הפעולות. ברעיון הבסיסי של הרחבת שדות (נוצרת סופית) השתמש גלואה כבר ב-1831.

הגדרה

שדה הוא מבנה אלגברי הכולל קבוצה $\ F$ עם שתי פעולות בינאריות, להן אפשר לקרוא "חיבור" ו"כפל" (המסומנות בדרך כלל ב- $+$ ו- $\cdot$ ) ושני קבועים (שונים) - 0 ו- 1, המקיימות את התכונות הבאות:

המבנה $\ (F,+,0)$ הוא חבורה אבלית, כלומר: החיבור אסוציאטיבי וקומוטטיבי, 0 הוא איבר נייטרלי, ולכל איבר יש הפכי;
המבנה $\ (F\setminus \{0\},\cdot ,1)$ הוא חבורה אבלית, כלומר: הכפל אסוציאטיבי וקומוטטיבי, 1 הוא איבר יחידה, ולכל איבר שונה מאפס יש הפכי;
מתקיים חוק הפילוג (דיסטריבוטיביות הכפל מעל החיבור): לכל $a,b,c$ ב- $\ F$ מתקיים $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ .

מאקסיומות אלה נובעות כמה תכונות בסיסיות, כדוגמת יחידות של האברים הנייטרליים (כלומר, התכונה ' $\ a+x=a$ לכל a' מייחדת את איבר האפס, וכן לאיבר היחידה), יחידות הנגדי וההפכי והעובדה שמכפלת כל איבר ב-0 שווה ל-0.

דוגמאות =

לצד החבורה, השדה הוא מן המבנים האלגבריים המרכזיים במתמטיקה. הסיבה לכך היא העושר בדוגמאות, המופיעות בכל תחומי המתמטיקה: ישנם שדות של מספרים כגון שדה המספרים הרציונליים ושדה המספרים הממשיים; שדות אלגבריים הם המצע השכיח לדיון בתורת המספרים האלגברית; לשדות סופיים יש חשיבות מכרעת בכל תחומי הקומבינטוריקה; שדות של פונקציות מופיעים בגאומטריה אלגברית ובאנליזה.

באלגברה שדות תופסים מקום מיוחד. הם קשורים קשר הדוק לפולינומים והשורשים שלהם (וזו הסיבה המקורית לפיתוחה של תורת גלואה). אלגברה לינארית עוסקת בהרחבה במרחב וקטורי מעל שדה. בתורת החוגים שדות מופיעים באופן טבעי, משום שחוג פשוט קומוטטיבי הוא שדה; כל שדה הוא תחום שלמות. יתרה מזו, המרכז של כל חוג פשוט הוא שדה.

השדות המופיעים באנליזה מאופיינים בתכונות נוספות, כגון סדר ושלמות. הדוגמאות היסודיות בתחום זה הן שדה המספרים הממשיים ושדה המספרים המרוכבים.

ישנם כמה שדות שזכו לסימון מיוחד:

$\mathbb {Q}$ - שדה המספרים הרציונליים.
$\mathbb {R}$ - שדה המספרים הממשיים.
$\mathbb {C}$ - שדה המספרים המרוכבים.
$\mathbb {F} _{q}$ - השדה הסופי מסדר $\ q$ (משתמשים גם בסימון $\ GF(q)$ , קיצור ל- Galois Field, על-שם אווריסט גלואה).
$\mathbb {Q} _{p}$ - שדה המספרים ה-p-אדיים המתאים למספר הראשוני p.

תת-שדות

תת-קבוצה של שדה F נקראת תת שדה אם היא שדה בזכות עצמה, כאשר מצמצמים אליה את פעולות החיבור והכפל. במלים אחרות, קבוצה כזו צריכה להכיל את אברי האפס והיחידה של F, ולהיות סגורה לחיבור, לכפל וגם לפעולות של לקיחת הנגדי או ההפכי.

אם P הוא תת-שדה של F, אז F הוא מרחב וקטורי מעל P, ולכן יש לו ממד. כאשר הממד הזה סופי, F מוכרח להיות אלגברי מעל P. במקרה זה, כדי שתת-קבוצה F המכילה את P וסגורה לחיבור וחיסור תהיה תת-שדה, מספיק שהיא סגורה לכפל.

לכל שדה יש תת-שדה ראשוני, שהוא השדה הקטן ביותר המכיל את איבר היחידה. השדה הזה יכול להיות שדה סופי בעל גודל ראשוני, או להכיל את כל המספרים השלמים, שאז הוא בהכרח מכיל את הרציונליים. במקרה הראשון המאפיין של השדה הוא גודל השדה הראשוני, ובשני אומרים שהמאפיין הוא אפס.

ראו גם

@@ שורה 6: / שורה 6: @@
 == הגדרה ==
-שדה הוא מבנה אלגברי הכולל קבוצה <math> \ F </math> ומקיים שתי פעולות בינאריות "כפל" ו-"חיבור" (המסומנות בדרך כלל: '''<math>\cdot</math>''' , '''+''') , כך שמתקיימות התכונות הבאות:
+שדה הוא [[מבנה אלגברי]] הכולל [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math>\ F</math> עם שתי [[פעולה בינארית|פעולות בינאריות]], להן אפשר לקרוא "חיבור" ו"כפל" (המסומנות בדרך כלל ב- <math>+</math> ו-<math>\cdot</math>) ושני קבועים (שונים) - 0 ו- 1, המקיימות את התכונות הבאות:
+* המבנה <math>\ (F, + , 0)</math> הוא [[חבורה אבלית]], כלומר: החיבור [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבי]] ו[[חילופיות|קומוטטיבי]], 0 הוא איבר נייטרלי, ולכל איבר יש הפכי;
-*חיבור
+* המבנה <math>\ (F\setminus \{0\}, \cdot , 1)</math> הוא [[חבורה אבלית]], כלומר: הכפל [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבי]] ו[[חילופיות|קומוטטיבי]], 1 הוא [[איבר יחידה]], ולכל איבר שונה מאפס יש [[איבר הופכי|הפכי]];
-# סגירות: לכל <math>\ a,b \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math> (a + b) \in \mathbb{F}</math>
-# קומוטטיביות (חילוץ):  לכל <math>\ a,b \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>(a +b) = (b +a)</math>
+* מתקיים [[חוק הפילוג]] (דיסטריבוטיביות הכפל מעל החיבור): לכל <math>a, b, c</math> ב- <math>\ F</math> מתקיים <math>a\cdot(b+c) = (a\cdot b)+(a\cdot c)</math>.
-# אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל <math>\ a,b,c \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>(a +b) + c = a + (b +c)</math>
-# קיום ניטרלי לחיבור: קיים איבר <math>0_F \in \mathbb{F}</math> כך שלכל <math>a \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>a + 0_F = a</math>
-# קיום איבר נגדי לכל איבר אחר: לכל <math>a \in \mathbb{F}</math> קיים איבר <math>-a</math> כך ש- <math>a + (-a) = 0_F</math>
-*כפל
-# סגירות: לכל <math>\ a,b \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math> (a * b) \in \mathbb{F}</math>
-# קומוטטיביות (חילוץ): לכל <math>\ a,b \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>(a * b) = (b * a)</math>
-# אסוציאטיביות (קיבוץ):  לכל <math>\ a,b,c \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>(a * b) * c = a * (b * c)</math>
-# קיום ניטרלי לכפל: קיים איבר <math>1_F \in \mathbb{F}</math> כך שלכל <math>a \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>a * 1_F = a</math>
-# קיום איבר הפכי לכל איבר אחר: לכל <math>a \in \mathbb{F}\setminus\{0_F\}</math> קיים איבר <math>a^{-1}</math> כך ש- <math>a + a^{-1} = 1_F</math>
-*בנוסף
-#דיסטריבוטיביות (פילוג): לכל <math>\ a,b,c \in \mathbb{F}</math> מתקיים <math>a * (b +c) = (a * b) + (a * c)</math>
-#<math>1_F \neq 0_F</math>
+מאקסיומות אלה נובעות כמה תכונות בסיסיות, כדוגמת יחידות של האברים הנייטרליים (כלומר, התכונה '<math>\ a+x=a</math> לכל a' מייחדת את [[איבר האפס]], וכן לאיבר היחידה), יחידות הנגדי וההפכי והעובדה שמכפלת כל איבר ב-0 שווה ל-0.
-== דוגמאות==
+== דוגמאות ===
 לצד ה[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]], השדה הוא מן המבנים האלגבריים המרכזיים במתמטיקה. הסיבה לכך היא העושר בדוגמאות, המופיעות בכל תחומי המתמטיקה: ישנם שדות של מספרים כגון [[שדה המספרים הרציונליים]] ו[[שדה המספרים הממשיים]]; [[שדה מספרים|שדות אלגבריים]] הם המצע השכיח לדיון ב[[תורת המספרים האלגברית]]; ל[[שדה סופי|שדות סופיים]] יש חשיבות מכרעת בכל תחומי ה[[קומבינטוריקה]]; שדות של פונקציות מופיעים ב[[גאומטריה אלגברית]] ובאנליזה.

אלגברה מופשטת
ענפים	אלגברה ליניארית • אלגברה בוליאנית • אלגברה דיפרנציאלית • אלגברה הומולוגית • גאומטריה אלגברית • טופולוגיה אלגברית • תורת גלואה • תורת החבורות • תורת החוגים • תורת המספרים האלגברית • תורת הקטגוריות • תורת השדות
מבנים אלגבריים	מאגמה • חבורה למחצה • מונואיד • חבורה • חבורה אַבּלִית • חוג • תחום שלמות • שדה • מודול • מרחב וקטורי • אלגברה (מבנה אלגברי) • אלגברת לי • אלגברת הקווטרניונים של המילטון • אלגברה לא אסוציאטיבית
מושגי יסוד	הומומורפיזם • משפטי האיזומורפיזם • תת-חבורה נורמלית • אידיאל • לוקליזציה • מכפלה טנזורית • הצגה ליניארית

נושאים באלגברה ליניארית
מושגי יסוד	שדה • מרחב וקטורי • משוואה ליניארית • מערכת משוואות ליניאריות • העתקה ליניארית • מטריצה
וקטורים	סקלר • כפל בסקלר • צירוף ליניארי • תלות ליניארית • קבוצה פורשת • בסיס • וקטור קואורדינטות • ממד
מטריצות	כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דירוג מטריצות • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצת מעבר • מטריצה משולשית • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן
העתקות	העתקה ליניארית • קואורדינטות • מטריצה מייצגת • גרעין • אנדומורפיזם • איזומורפיזם • העתקה אפינית • העתקה פרויקטיבית
מרחבי מכפלה פנימית	מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אורתוגונליות • מטריצה סימטרית • אופרטור הרמיטי • אופרטור אוניטרי • טרנספורמציה נורמלית • נורמה • מטריקה
תבניות	תבנית ביליניארית • תבנית סימטרית • תבנית הרמיטית • תבנית סימפלקטית • חפיפת מטריצות • משפט סילבסטר • תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית • אוריינטציה • צפיפות • טנזור