מספר שמח

הכינוי "מספר שמח" (באנגלית: Happy number) מתאר מספרים שעבורם התהליך של חישוב סכום ריבועי הספרות (בבסיס 10), וחוזר חלילה, מסתיים במספר 1. במילים אחרות, אם נחבר את סכום ריבועי הספרות שלו שוב ושוב נקבל בסופו של דבר 1.

הגדרה

בניסוח פורמלי יותר: כאשר נתון מספר טבעי $\ n=n_{0}$, נגדיר את הסדרה $\ n_{1}$, $\ n_{2}$, ... שבה $\ n_{i+1}$ הוא סכום ריבועי הספרות של $\ n_{i}$. ‏$\ n$ הוא מספר שמח אם ורק אם קיים $\ i$ שעבורו $\ n_{i}=1$.

דוגמה: 19 הוא מספר שמח, משום שמתקיימת בו הסדרה הבאה:

$\ 1^{2}+9^{2}=82$

$\ 8^{2}+2^{2}=68$

$\ 6^{2}+8^{2}=100$

$\ 1^{2}+0^{2}+0^{2}=1$

תחילתה של סדרת המספרים השמחים היא:

1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100.

הסבר

נגדיר פונקציה $\ f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ כך ש- $\ f(n)$ הוא סכום ריבועי הספרות של $\ n$.

הריבוע של הספרה הגדולה ביותר, 9, הוא 81, ולכן סכום הריבועים של מספר טבעי n, שלו יש m ספרות, הוא לא יותר מאשר 81m. לכל $\ m\geq 4$ מתקיים :$\ n\geq 10^{m-1}>81m$ כך שבתהליך זה כל מספר גדול מ-1000 הולך וקטן, ובפרט קטן מספר הספרות של איברי הסדרה. כאשר הסדרה מגיעה למספר קטן מ-1000, המספר שסכום ריבועי ספרותיו הוא הגדול ביותר הוא 999, והסכום המתקבל הוא 243.

• בטווח 100 עד 243, המספר 199 מייצר את הערך הבא בתור בגודלו, 163.
• בטווח 100 עד 163, המספר 159 מייצר את הערך הבא בתור בגודלו, 107.
• בטווח 100 עד 107, המספר 107 מייצר את הערך הבא בתור בגודלו, 50.

בהתאם לכך, כל מספר גדול מ-99 הולך וקטן בתהליך זה, כלומר: לכל מספר שנבדוק, נגיע בשלב כלשהו בסדרה למספר קטן מ-100. בדיקה של כל המספרים בטווח 1 עד 99 מגלה שכל מספר בטווח זה הוא מספר שמח או שהוא מגיע למחזור המתואר לעיל.

מכאן נובע שהפעלה חוזרת של f מוכרחה להסתיים או בנקודת השבת (היינו, מספר m שעבורו $\ f(m)=m$), או במחזור סופי.

נקודת השבת היחידה היא $\ m=1$, ומספרים שעבורם התהליך מסתיים בה, נקראים "שמחים". בדיקה ישירה של המספרים הקטנים מראה שכל מספר שאינו שמח מגיע למחזור באורך 8, $\ 4\mapsto 16\mapsto 37\mapsto 58\mapsto 89\mapsto 145\mapsto 42\mapsto 20\mapsto 4$.

מקיומם של מספר שמח אחד ומספר אחד שאינו שמח, קל לראות שישנם אינסוף מספרים "שמחים", ואינסוף מספרים שאינם כאלה. אם k הוא מספר שמח, הרי מספר המורכב מ-k מופעים של הספרה 1 וממספר מופעים כלשהו של הספרה 0 גם הוא שמח (משום שסכום ריבועי ספרותיו הוא k), כלומר מצאנו אינסוף מספרים שמחים. באופן דומה ניתן לייצר אינסוף מספרים שאינם שמחים, בעקבות מספר נתון אחד שאינו שמח.

מספרים שמחים נוספים

• "מספר שמח-ראשוני" הוא מספר שהינו גם מספר שמח וגם מספר ראשוני. להלן המספרים הקטנים מ-500: 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487.

• נכון ל-2010, המספר השמח הגדול ביותר שהתגלה הוא מספר מרסן הראשוני $\ 2^{42,643,801}-1$. זהו מספר בן 12,837,064 ספרות עשרוניות.

• מספרים שמחים עוקב הוא מספר שמח שצמוד לו קיים מספר שגם הוא שמח, קיימים אינסוף מספרים שמחים עוקבים.

• חיפוש ממוחשב עד ל-10²⁰ מעלה כי בערך 12% מהמספרים הם "שמחים", אך הצפיפות המדויקת אינה ידועה.

קישורים חיצוניים

• חישוב ראשוניים שמחים