חבורת בראואר

באלגברה מופשטת, חבורת בראוור (Brauer group) של שדה נתון היא חבורת אוסף מחלקות האלגברות הפשוטות המרכזיות עם פעולת המכפלה הטנזורית, בה איבר ההופכי הוא (המחלקה של) האלגברה המנוגדת. היא נקראת על שם המתמטיקאי ריצ'רד בראוור. מטרתה היא לאפיין את האלגברות הפשוטות המרכזיות מעל השדה.

מבוא והגדרה פורמלית

אלגברה פשוטה מרכזית (Central simple algebra) מעל שדה $\mathbb {F}$ היא אלגברה פשוטה סוף ממדית שמרכזה הוא השדה $\mathbb {F}$. אלגברת חילוק מרכזית (Central division algebra) היא אלגברה פשוטה מרכזית עם חילוק.

לפי משפט של ג'וזף ודרברן, כל אלגברה פשוטה מרכזית איזומורפית לאלגברת מטריצות מעל חוג עם חילוק; חוג זה וגם סדר אלגברת המטריצות יחידים עד כדי איזומורפיזם. אלגברת החילוק הזו נקראת האלגברה הבסיסית (היא בבסיס האלגברה המקורית).

נאמר ששתי אלגברות פשוטות מרכזיות ${R}_{1},{R}_{2}$ הן שקולות בראוור אם לשתיהן אותה אלגברה בסיסית. נסמן זאת ${R}_{1}{\sim }_{Br}{R}_{2}$. קל לבדוק שזהו אכן יחס שקילות, ואת המחלקה של כל אלגברה פשוטה מרכזית נסמן על ידי $[R]$. למשל, מתקיים $[\mathbb {F} ]=\{{M}_{n}(\mathbb {F} ):n\geq 1\}$.

חבורת בראוור היא החבורה הבאה:

* האיברים הם אוסף מחלקות השקילות כנ"ל.

* הפעולה היא $[{R}_{1}]\cdot [{R}_{2}]=[{R}_{1}\otimes {R}_{1}]$, כאשר $\otimes$ היא המכפלה הטנזורית.

* איבר היחידה הוא $[\mathbb {F} ]$.

* האיבר ההופכי של $[R]$ הוא $[{R}^{op}]$, האלגברה המנוגדת.

קל לבדוק שאוסף זה כפי שהוגדר מהווה חבורה, והיא חבורת בראוור של השדה $\mathbb {F}$, אותה מסמנים $Br(\mathbb {F} )$.

דוגמאות

• אם $\mathbb {F}$ שדה סגור אלגברית, אז $Br(\mathbb {F} )=\{[\mathbb {F} ]\}$ (חבורה עם איבר אחד). טענה זו נובעת מכך שמעל שדה סגור אלגברית, כל אלגברה עם חילוק היא $\mathbb {F}$ בעצמו, ולכן האלגברות הפשוטות המרכזיות מעל $\mathbb {F}$ סגור אלגברית הן רק ${M}_{n}(\mathbb {F} )$.

• במקרה $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ שדה הממשיים, מתקיים $Br(\mathbb {F} )=\{[\mathbb {R} ],[\mathbb {H} ]\}$, כאשר $\mathbb {H}$ היא אלגברת הקווטרניונים של המילטון. זה נכון לפי משפט של פרובניוס, הקובע כי אלגברת החילוק היחידה מעל הממשיים היא אלגברת הקווטרניונים .

• לפי משפט נוסף של ודרברן, כל חוג סופי עם חילוק הוא שדה. לכן, אם $\mathbb {F}$ שדה סופי, אז $Br(\mathbb {F} )=\{[\mathbb {F} ]\}$.

תכונות והגדרות נוספות

תהי $\mathbb {L} /\mathbb {F}$ הרחבת שדות.

• ההעתקה $Br(\mathbb {F} )\rightarrow Br(\mathbb {L} )$ הנתונה על ידי $[R]\mapsto [R{\otimes }_{\mathbb {F} }\mathbb {L} ]$ מוגדרת היטב, ומהווה הומומורפיזם חבורות. העתקה זו מכונה הצמצום (Restriction) ומסומנת ${res}_{\mathbb {L} /\mathbb {F} }$. הגרעין שלה נקרא חבורת בראוור היחסית (relative Brauer group), ומסומנת $Br(\mathbb {L} /\mathbb {F} )$.

• אם $[R]\in Br(\mathbb {L} /\mathbb {F} )$ אז $R\otimes \mathbb {L} {\sim }_{Br}\mathbb {L}$, ובמקרה זה $\mathbb {L}$ נקרא שדה מפצל של האלגברה $R$.

• הסגור האלגברי ${\overline {\mathbb {F} }}$ של $\mathbb {F}$ תמיד שדה מפצל של כל $\mathbb {F}$-אלגברה $R$, ולכן קיים מספר טבעי $n$ כך ש-$R{\otimes }_{\mathbb {F} }({\overline {\mathbb {F} }}){\sim }_{Br}{M}_{n}({\overline {\mathbb {F} }})$, ולכן ממדו הוא ${n}^{2}$. המספר $n$ נקרא הדרגה של $R$, ומסמנים $n=deg(R)$. האינדקס של $R={M}_{t}(D)$ הוא הדרגה של $D$ מעל $\mathbb {F}$, מסומן $ind(R)$, ומתקיים $deg(R)=t\cdot ind(R)$.

• שדה $\mathbb {L}$ מפצל את $R$ אם ורק אם $\mathbb {L}$ תת שדה מקסימלי של $R$ המכיל את $\mathbb {F}$.

• האקספוננט של אלגברה $R$ הוא הסדר של $[R]\in Br(\mathbb {F} )$, ומסומן $exp(R)$. תמיד מתקיים $exp(R)|deg(R)$.

• תכונה חשובה נוספת של חבורת ברואוור היא שהיא חבורת פיתול, כלומר חבורה בה כל איבר $R$ מקיים $R\otimes ...\otimes R\cong {M}_{n}(\mathbb {F} )$. מספר ההכפלות שיש לבצע מחלק את ${\sqrt {[R:\mathbb {F} ]}}$ (להוכחה והכללה של הטענה ראו בקריאה הנוספת).

ראו גם

• מכפלה טנזורית
• אלגברה מנוגדת
• אלגברה פשוטה מרכזית
• אלגברת אזומיה

לקריאה נוספת

• Graduate Algebra: Noncommutative View, Louis Halle Rowen, AMS, 447-461

• The Brauer group is Torsion, David J. Saltman ,AMS ,1981