משולש ישר-זווית – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ שוחזר מעריכות של 77.125.140.153 (שיחה) לעריכה האחרונה של ערן
Roeyvi19 (שיחה | תרומות)
מ ←‏תכונות: תקלדה, ניסוח, הגהה
שורה 15: שורה 15:
* ריבוע הגובה ליתר שווה למכפלת שני הקטעים שהוא יוצר על היתר.
* ריבוע הגובה ליתר שווה למכפלת שני הקטעים שהוא יוצר על היתר.
* כל ניצב הוא הגובה של הניצב השני.
* כל ניצב הוא הגובה של הניצב השני.
* ניצב מול 30 מעלות שווה חצי יתר.משפט הפוך : אם ניצב שווה חצי יתר : הזווית מול הניצב שווה 30 מעלות.
* אם הזווית מול ניצב שווה ל-30°, אז ניצב זה שווה למחצית היתר. ומכאן - אם ניצב שווה למחצית היתר, אז הזווית מול ניצוב זה שווה ל-30° (ראה [[משולש ישר-זווית#.D7.9E.D7.A9.D7.95.D7.9C.D7.A9 .D7.96.D7.94.D7.91|משולש זהב]]).
* [[חוצה זווית|חוצה הזווית]] הישרה חוצה גם את הזווית שבין התיכון לגובה.
* [[חוצה זווית|חוצה הזווית]] הישרה חוצה גם את הזווית שבין התיכון לגובה.
אם הניצבים של המשולש הם <math>\ a</math> ו-<math>\ b</math>, היתר הוא <math>\ c</math> והגובה ליתר הוא <math>\ h</math>, אז מתקיים:
אם הניצבים של המשולש הם <math>\ a</math> ו-<math>\ b</math>, היתר הוא <math>\ c</math> והגובה ליתר הוא <math>\ h</math>, אז מתקיים:
שורה 41: שורה 41:


===משולש זהב===
===משולש זהב===
'''משולש זהב''' הוא משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30. במשולש כזה אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זהב הוא חצי מ[[משולש שווה-צלעות]]. משולש נוסף המכונה בשם זה הוא משולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 מעלות, מכיוון שבמשולש זה מתקיימת התכונה הבאה: היחס בין השוקיים לבסיס או לחלופין, בין הבסיס לשוקיים הוא [[יחס הזהב]].
'''משולש זהב''' הוא משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30. במשולש כזה אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זהב הוא חצי מ[[משולש שווה-צלעות]].
משולש נוסף המכונה בשם זה הוא משולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 מעלות, מכיוון שבמשולש זה מתקיימת התכונה הבאה: היחס בין השוקיים לבסיס או לחלופין, בין הבסיס לשוקיים הוא [[יחס הזהב]].


==קישורים חיצוניים==
==קישורים חיצוניים==

גרסה מ־19:06, 25 בינואר 2015

המונח "יתר" מפנה לכאן. לערך העוסק בדמות מקראית, ראו יתר הישמעאלי.
משולש ישר-זווית

משולש ישר-זווית הוא משולש בעל זווית ישרה.

במשולש זה, שתי הצלעות שכולאות את הזווית הישרה נקראות ניצבים, והצלע שמול הזווית הישרה נקראת יתר.

משולש ישר-זווית הוא הבסיס לפונקציות הטריגונומטריות.

תכונות

  • משולש ישר-זווית מקיים את משפט פיתגורס: סכום השטחים של ריבועים הבנויים על הניצבים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר.
  • התיכון ליתר שווה למחצית היתר, ומכאן שהתיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי-שוקיים.
  • משולש ישר-זווית מקיים את משפט תאלס: אם משולש ישר-זווית חסום במעגל, אז היתר מתלכד עם קוטר המעגל. התיכון ליתר הוא רדיוס במעגל החוסם.
  • הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים הדומים למשולש המקורי (ולכן גם דומים זה לזה). מכאן נובע משפט אוקלידס - אורך הניצב הוא הממוצע הגאומטרי של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר.
  • ריבוע הגובה ליתר שווה למכפלת שני הקטעים שהוא יוצר על היתר.
  • כל ניצב הוא הגובה של הניצב השני.
  • אם הזווית מול ניצב שווה ל-30°, אז ניצב זה שווה למחצית היתר. ומכאן - אם ניצב שווה למחצית היתר, אז הזווית מול ניצוב זה שווה ל-30° (ראה משולש זהב).
  • חוצה הזווית הישרה חוצה גם את הזווית שבין התיכון לגובה.

אם הניצבים של המשולש הם ו-, היתר הוא והגובה ליתר הוא , אז מתקיים:

(משפט פיתגורס)

וכן:

שטח המשולש הוא:

אם רדיוס המעגל החסום במשולש הוא , אז מתקיים:

אם התיכונים לניצבים הם ו- והתיכון ליתר הוא , אז מתקיים:

הגדרת פונקציות טריגונומטריות

ערך מורחב – פונקציות טריגונומטריות

את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 ל-90 מעלות ( רדיאנים), מגדירים כיחס בין שתי צלעות במשולש ישר-זווית.

עבור זווית הכלואה בין הניצב והיתר ומול הצלע מוגדר:

עבור זווית כללית מגדירים באמצעות מעגל היחידה.

משולשים ישרי-זווית מיוחדים

משולש כסף

משולש כסף הוא משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. הזוויות שלו הן: 45, 45, 90. היחס בין אורך היתר לאורך הניצב הוא השורש הריבועי של 2. מריבוע שמועבר בו האלכסון מקבלים שני משולשי כסף.

משולש זהב

משולש זהב הוא משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30. במשולש כזה אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זהב הוא חצי ממשולש שווה-צלעות.

משולש נוסף המכונה בשם זה הוא משולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 מעלות, מכיוון שבמשולש זה מתקיימת התכונה הבאה: היחס בין השוקיים לבסיס או לחלופין, בין הבסיס לשוקיים הוא יחס הזהב.

קישורים חיצוניים