פולינום אי פריק

באלגברה, פולינום אי פריק הוא פולינום מעל שדה שאינו ניתן להצגה כמכפלה של שני פולינומים שאינם קבועים, כלומר פולינומים מדרגה 0 (פולינום פריק הוא פולינום שניתן להציגו כך). הגדרה זו תלויה בשדה שמעליו מוגדר הפולינום, שכן ישנם פולינומים שמעל שדה אחד הם פריקים ומעל אחרים הם בלתי פריקים.

לפולינומים אי פריקים שימושים בתורת גלואה ובבניית שדות סופיים. ניתן להראות כי כל שדה סופי ניתן להצגה בתור אוסף שאריות של חלוקה בפולינום אי פריק.

יש דמיון לא מבוטל בין מספרים ראשוניים ופולינומים אי פריקים. מספרים ראשוניים לא ניתנים להצגה כמכפלה לא טריוויאלית, שבה אחד המוכפלים הוא 1, ופולינום אי פריק לא ניתן להצגה כמכפלה לא טריוויאלית, שבה אחד המוכפלים הוא קבוע. כל מספר ניתן להצגה בצורה ייחודית (עד כדי החלפת סדר ההכפלה) של מספרים ראשוניים (המשפט היסודי של האריתמטיקה) ואילו כל פולינום ניתן להצגה בצורה ייחודית (עד כדי החלפת סדר ההכפלה וכפל בקבוע) של פולינומים אי פריקים.

דוגמה

נביט בשלושת הפולינומים הבאים:

1. $\ p_{1}(x)=x^{2}-4=(x-2)(x+2)$.
2. $\ p_{2}(x)=x^{2}-2=(x-{\sqrt {(}}2))(x+{\sqrt {(}}2))$.
3. $\ p_{3}(x)=x^{2}+1=(x-i)(x+i)$.

מעל שדה המספרים הרציונליים $\mathbb {Q}$ רק הפולינום הראשון הוא פריק. שני האחרים אי פריקים שכן שורש שתיים והמספר המדומה אינם שייכים לשדה.

מעל שדה המספרים הממשיים $\mathbb {R}$ הפולינומים הראשון והשני פריקים, והשלישי לא.

מעל שדה המספרים המרוכבים $\mathbb {C}$ שלושת הפולינומים פריקים. דבר זה אינו מקרי: המשפט היסודי של האלגברה מראה כי כל פולינום ממעלה גדולה מ-1 הוא פריק מעל שדה המרוכבים.

שיטות לזיהוי אי פריקות

משפט בסיסי קובע כי פולינום ממעלה שנייה או שלישית פריק אם ורק אם יש לו שורש, כלומר איבר בשדה שמאפס אותו.

קריטריון איזנשטיין הוא קריטריון עבור אי פריקות של פולינום בעל מקדמים שלמים (ובעזרת שימוש במכנה משותף אפשר להשתמש בו גם עבור מקדמים רציונליים). הוא מנוסח כך:

יהא $\ a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}$ פולינום במקדמים שלמים. אם קיים מספר ראשוני $\ p$ כך ש- $\ \forall i<n:p|a_{i}$ ( $\ p$ מחלק את כל המקדמים פרט לזה של החזקה הגבוהה ביותר) וכמו כן מתקיים $\ p\not {|}a_{n},p^{2}\not {|}a_{0}$ (כלומר, $\ p$ לא מחלק את המקדם של החזקה הגבוהה ביותר, וריבועו לא מחלק את המקדם החופשי) אז הפולינום הוא אי פריק מעל המספרים הרציונליים.