לדלג לתוכן

משפט ערך הביניים – הבדלי גרסאות

נוספו 137 בתים ,  לפני 7 שנים
מ (הוספת קטגוריה:קשירות באמצעות HotCat)
 
==הוכחה==
נניח [[ללא הגבלת הכלליות]] ש-<math>f(a)\le f(b)</math> (ההוכחה למקרה <math>f(b)\le f(a)</math> זהה). אנו רוצים למצוא מספר <math>\ c\isin(a,b)</math> כך ש-<math>\ f(c)=t</math> עבור <math>\ t\isin(f(a),f(b))</math>. נגדיר את הקבוצה הבאה: <math>\ A=\left\{x\isin[a,b]\mid f(x)\le t\right\}</math>. זוהי קבוצה לא ריקה (כי <math>\ a\isin A</math>) וחסומה (על ידי <math>b</math>), מכאן שיש לה [[חסם עליון]], על פי [[אקסיומת החסם העליון]] של [[שדה המספרים הממשיים|המספרים הממשיים]]. נסמן חסם עליון זה <math>\ c</math>, וכעת נוכיח כי <math>\ f(c)=t</math>. לשם כך נפריך את שתי הטענות הבאות: <math>\ f(c)>t</math> ו-<math>\ f(c)<t</math>.
* נניח בשלילה כי <math>\ f(c)<>t</math>, אז <math>\ t-f(c)-t>0</math>, ולכן, קייםמרציפות <math>\ f</math> נובע שקיים <math>\ \delta>0</math> כך שלכל <math>\ |x-c|<\delta</math> מתקיים <math>\ |f(x)-f(c)|<t-f(c)-t</math>, כלומר <math>\ f(x)<>f(c)+(t-(f(c)-t)=t</math>. כלומראבל מאחר ש-<math>\ c</math> הוא חסם עליון של <math>\ A</math>, מצאנובכל סביבה שלו יש איבר מתוך <math>\ xA</math>c, ובפרט קיים <math>\ x\isin A</math> שעבורוכך ש-<math>\ f(|x)-c|<t\delta</math>, בסתירהאבל להיותזו סתירה, כי מהגדרת <math>\ cA</math> חסםנובע עליוןש-<math>\ f(x)\le t</math>.
 
* נניח בשלילה כי <math>\ f(c)><t</math>, אז <math>\ t-f(c)-t>0</math>, ולכן, מרציפות <math>\ f</math> נובע שקייםקיים <math>\ \delta>0</math> כך שלכל <math>\ |x-c|<\delta</math> מתקיים <math>\ |f(x)-f(c)|<t-f(c)-t</math>, כלומר <math>\ f(x)><f(c)+(t-(f(c)-t)=t</math>. אבל מאחר ש-<math>\ c</math> הוא חסם עליון של <math>\ A</math>כלומר, בכל סביבה שלו ישמצאנו איבר מתוך <math>\ A</mathx>, ובפרט קיים <math>\ x\isin Ac</math> כךשעבורו ש-<math>\ |f(x-c|)<\deltat</math>, אבלבסתירה זו סתירה, כי מהגדרתלהיות <math>\ Ac</math> נובעחסם ש-<math>\ f(x)\le t</math>עליון.
 
נניח כי <math>\ f(c)<t</math>, אז <math>\ t-f(c)>0</math> ולכן קיים <math>\ \delta>0</math> כך שלכל <math>\ |x-c|<\delta</math> מתקיים <math>\ |f(x)-f(c)|<t-f(c)</math>, כלומר <math>\ f(x)<f(c)+(t-f(c))=t</math>. כלומר, מצאנו איבר <math>\ x>c</math> שעבורו <math>\ f(x)<t</math>, בסתירה להיות <math>\ c</math> חסם עליון.
 
מאחר ששללנו את האפשרויות <math>\ f(c)>t,f(c)<t</math>, בהכרח <math>\ f(c)=t</math>, כמבוקש.
משתמש אלמוני