לדלג לתוכן

הבדלים בין גרסאות בדף "שילוש זווית"

נוספו 351 בתים ,  לפני 5 שנים
קישורים פנימיים וניסוח בהסבר תרשים הצד.
מ (קישורים פנימיים)
(קישורים פנימיים וניסוח בהסבר תרשים הצד.)
[[קובץ:Angle trisection.jpg|שמאל|ממוזער|400px|שילוש [[זווית]] באמצעות רצועה. נתונה הזווית AOB (באיור:בכחול ב[[כחול]]), כאשר O מרכזו של [[מעגל]], שעליו מונחות הנקודותה[[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] A ו-B. ממשיכים את ה[[קטע (מתמטיקה)|קטע]] (ה[[ישר]]) AO עד לחיתוךל[[חיתוך D(גאומטריה)|חיתוך]] עם המעגל בנקודה D, ומעבירים דרך D [[ישרים מקבילים|מקביל]] ל-OB, החותך את המעגל בנקודה E. באמצעות הרצועה, מאתרים על המשך הישר OB נקודה X מחוץ למעגל, כך שהמרחקשה[[מרחק]] ממנה לחיתוךלנקודת החיתוך Y של המעגל עם DX שווה לרדיוסל[[רדיוס]] המעגל (זו פעולה שלא ניתן לבצע ב[[בנייה בסרגל ובמחוגה|סרגל ומחוגה]]). הזווית EDX (באיור: באדוםב[[אדום]]) שווה לשליש הזווית AOB.]]
ב[[גאומטריית המישור]], בעיית '''שילוש הזווית''' (או '''טריסקציה של זווית''') מבקשת לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים שווים באמצעות [[בנייה בסרגל ובמחוגה|סרגל ומחוגה]]. זוהי אחת מן [[הבעיות הגאומטריות של ימי קדם]] שלא נמצא לה פתרון במשך 2000 שנה. ב[[המאה ה-19|מאה ה-19]] פותחה [[תורת גלואה]] שאפשרה להוכיח כי שילוש זווית אינו אפשרי באמצעות סרגל ומחוגה. למעשה, אפילו את הזווית של [[משולש שווה-צלעות]] לא ניתן לשלש בסרגל ומחוגה.
 
==אי אפשר לשלש במחוגה וסרגל==
 
מאז תחילת [[המאה ה-19]] ידוע שאי אפשר לשלש זווית במחוגה וסרגל. קל לבנות זווית של <math>60^\circ</math> כי זו הזווית הפנימית ב[[משולש שווה-צלעות]]. כדי להוכיח שלא ניתן לשלש זווית בסרגל ומחוגה, מספיק להראות שלא ניתן לבנות זווית של <math>20^\circ</math>. נניח בשלילה שניתן לבנות זווית שכזו, אז ניתן לבנות קטע באורך <math>\cos(20^\circ)</math> בתור ניצב ב[[משולש ישר-זווית]] עם זווית של <math>20^\circ</math> ויתר באורך 1. מ[[זהויות טריגונומטריות]] פשוטות נובע ש-<math>4\cos^3(20^\circ)-3\cos(20^\circ) = \cos(60^\circ) = 1/2</math>.
 
מכאן ש-<math>\cos(20^\circ)</math> הוא [[שורש (של פונקציה)|שורש]] של ה[[פולינום]] <math>8x^3-6x-1</math>. זהו [[פולינום אי-פריק]] מעל ה[[שדה המספרים הרציונליים]] (כי בדיקה של כל המועמדים האפשריים תראה שאין לו שורש רציונלי). לכן <math>\cos(20^\circ)</math> הוא [[מספר אלגברי]] מדרגה 3, והשדה <math>\ \mathbb{Q}[\cos(20^\circ)]</math> הוא בעל ממד 3 מעל הרציונליים.
== משפט מורלי ==
 
[[קובץ:Morley theorem.jpg|שמאל|ממוזער|400px|משפט מורלי: המשולש האדום הוא [[משולש שווה-צלעות|שווה-צלעות]]]]
'''[[משפט מורלי''']] (שהתגלה על ידי פרנק מורלי (Frank Morley) ב-[[1904]]) קובע שאם משלשים את שלוש הזוויות של משולש, נקודות המפגש של הקרניים יוצרות [[משולש שווה-צלעות]], כבאיור משמאל.
 
==קישורים חיצוניים==