לדלג לתוכן

הבדלים בין גרסאות בדף "שילוש זווית"

נוספו 120 בתים ,  לפני 5 שנים
הוספת הסבר מהי רצועה במסגרת הצד הראשונה.
מ (←‏פתיח: אפשר לדון בכך בדף השיחה)
(הוספת הסבר מהי רצועה במסגרת הצד הראשונה.)
[[קובץ:Angle trisection.jpg|ממוזער|400px|שילוש [[זווית]] באמצעות רצועה. ([[סרגל]] כפול - סרגל שיש לו שני צדדים [[ישרים מקבילים]] ב[[מרחק]] ידוע).{{ש}}נתונה הזווית AOB (באיור: ב[[כחול]]), כאשר O מרכזו של [[מעגל]], שעליו מונחות ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] A ו-B. ממשיכים את ה[[קטע (מתמטיקה)|קטע]] (ה[[ישר]]) AO עד ל[[חיתוך (גאומטריה)|חיתוך]] עם המעגל בנקודה D, ומעבירים דרך D [[ישרים מקבילים|מקביל]] ל-OB, החותך את המעגל בנקודה E. באמצעות הרצועה, מאתרים על המשך הישר OB נקודה X מחוץ למעגל, כך שה[[מרחק]] ממנה לנקודת החיתוך Y של המעגל עם DX שווה ל[[רדיוס]] המעגל (זו פעולה שלא ניתן לבצע ב[[בנייה בסרגל ובמחוגה|סרגל ומחוגה]]). הזווית EDX (באיור: ב[[אדום]]) שווה לשליש הזווית AOB.]]
 
ב[[גאומטריית המישור]], בעיית '''שילוש הזווית''' (או '''טריסקציה של זווית''') מבקשת לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים שווים באמצעות [[בנייה בסרגל ובמחוגה|סרגל ומחוגה]]. זוהי אחת מן [[הבעיות הגאומטריות של ימי קדם]] שלא נמצא לה פתרון במשך 2000 שנה. ב[[המאה ה-19|מאה ה-19]] פותחה [[תורת גלואה]] שאפשרה להוכיח כי שילוש זווית אינו אפשרי באמצעות סרגל ומחוגה. למעשה, אפילו את הזווית של [[משולש שווה-צלעות]] לא ניתן לשלש בסרגל ומחוגה.
 
==אי אפשר לשלש במחוגה וסרגל==
 
מאז תחילת [[המאה ה-19]] ידוע שאי אפשר לשלש זווית במחוגה וסרגל. קל לבנות זווית של <math>60^\circ</math> כי זו הזווית הפנימית ב[[משולש שווה-צלעות]]. כדי להוכיח שלא ניתן לשלש זווית בסרגל ומחוגה, מספיק להראות שלא ניתן לבנות זווית של <math>20^\circ</math>. נניח בשלילה שניתן לבנות זווית שכזו, אז ניתן לבנות קטע באורך <math>\cos(20^\circ)</math> בתור ניצב ב[[משולש ישר-זווית]] עם זווית של <math>20^\circ</math> ויתר באורך 1. מ[[זהויות טריגונומטריות]] פשוטות נובע ש-<math>4\cos^3(20^\circ)-3\cos(20^\circ) = \cos(60^\circ) = 1/2</math>.
 
 
=== שילוש זווית בכלים אחרים ===
 
עם זאת, אפשר לשלש זוויות אם נעזרים בכלים נוספים (מלבד סרגל ומחוגה):
* [[היפיאס]] (במאה החמישית לפני הספירה) הראה שבעזרת [[קוואדרטריקס]] ניתן לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים, ולמעשה לכל מספר שלם של חלקים. (שמו של עקום זה בא לו מיכולתו [[תרבוע העיגול|לרבע את המעגל]]). שיטה זו ניתנת לתיאור נוסף: נניח ש- P נקודה על שפת מעגל ברדיוס R; ה[[מקום גאומטרי|מקום הגאומטרי]] של כל הנקודות המתקבלות מהמשכת הישר העובר ב-P דרך נקודה X על המעגל, למרחק של R, מאפשר לשלש כל זווית קטנה מ-135° אשר קודקודה הוא מרכז המעגל.
* [[ארכימדס]] הראה שאפשר, בעזרת מחוגה ו'''רצועה''' (סרגל כפול, כלומר- סרגל שיש לו שני צדדים [[ישרים מקבילים,]] במרחקב[[מרחק]] ידוע), לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים. ראו איור משמאל.
* [[ניקומדס (מתמטיקאי)|ניקומדס]] (במאה השנייה לפני הספירה) הראה שאפשר לשלש זווית אם נעזרים ב[[קונכואידה]].
* [[אטיין פסקל]], אביו של [[בלז פסקל]], הראה שאפשר לשלש את הזווית באמצעות [[קרדיואידה]]; שיטה זו דומה לשיטתו של ניקומדס.
 
== משפט מורלי ==
 
[[קובץ:Morley theorem.jpg|ממוזער|400px|משפט מורלי: המשולש האדום הוא [[משולש שווה-צלעות|שווה-צלעות]]]]
[[משפט מורלי]] (שהתגלה על ידי פרנק מורלי (Frank Morley) ב-[[1904]]) קובע שאם משלשים את שלוש הזוויות של משולש, נקודות המפגש של הקרניים יוצרות [[משולש שווה-צלעות]], כבאיור משמאל.
==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld|AngleTrisection}}
 
 
[[קטגוריה:בנייה בסרגל ובמחוגה]]