פונקציית הערך השלם

הגרף של פונקציית הערך השלם

במתמטיקה, פונקציית הערך השלם (נקראת גם פונקציית רִצפה) היא פונקציה המחזירה לכל מספר ממשי x את המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל-x. פונקציה זו מסומנת $\lfloor x\rfloor$, $\ [x]$ או (x)‏floor. דוגמאות: $\lfloor 2.7\rfloor =2$, $\lfloor -2.1\rfloor =-3$, $\lfloor -2\rfloor =-2$.

תכונות

• לכל x ממשי הפונקציה מקיימת:
  

$\lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor +1$

כאשר השוויון באגף שמאל מתקיים אם ורק אם x שלם.

ניתן לתאר זאת גם כך:

$\lfloor x\rfloor =\max \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\}$

• הפונקציה היא אידמפוטנטית: $\lfloor \lfloor x\rfloor \rfloor =\lfloor x\rfloor$
• לכל x ממשי ולכל n שלם מתקיים:
  

$\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n$

• עיגול למספר השלם הקרוב ביותר ל-x ניתן על ידי הנוסחה $\lfloor x+0.5\rfloor$.
• אם m ו-n זרים זה לזה, אזי מתקיים:
  

$\sum _{i=1}^{n-1}\lfloor im/n\rfloor =(m-1)(n-1)/2$

פונקציית תקרה

הגרף של פונקציית תקרה

פונקציית התקרה מחזירה לכל מספר ממשי x את המספר השלם הקטן ביותר שגדול או שווה ל-x. הפונקציה מסומנת $\lceil x\rceil$ או (x)‏ceiling. ניתן לתאר את פונקציה התקרה כך:

$\lceil x\rceil =\min \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}$

דוגמאות: $\lceil 2.7\rceil =3$, $\lceil -2.1\rceil =-2$, $\lceil -2\rceil =-2$.

הקשר בין פונקציית הרצפה לבין פונקציית התקרה ניתן על ידי הנוסחה $\lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor$.

לכל k שלם מתקיים: $\lfloor k/2\rfloor +\lceil k/2\rceil =k$.

לכל k מספר ממשי מתקיים: $\lfloor k\rfloor \leq k\leq \lceil k\rceil$.

ראו גם

• עיגול (אריתמטיקה)
• החלק השברי

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית הערך השלם בוויקישיתוף