פונקציה קעורה

דוגמה ויזואלית

במתמטיקה, פונקציה קעורה בקטע מסוים היא פונקציה אשר עבור כל שתי נקודות באותו הקטע, הישר המחבר בין שתי הנקודות נמצא מתחת לגרף הפונקציה. חשוב לשים לב שלמרות שעל פי ההגדרה הלשונית של המילים קמור וקעור, העקום המתקבל הוא קמור מלמעלה, בהגדרה המתמטית העקום נבחן מלמטה ולכן הוא פונקציה קעורה. פונקציה היא קעורה אם ההיפוגרף שלה היא קבוצה קמורה.

הגדרה

הגדרה: תהא $\ f(x)$ פונקציה המוגדרת בקטע $\left[a,b\right]$. הפונקציה תקרא קעורה בקטע אם עבור כל $\!\,x,y\in [a,b]$ וכל $\!\,0\leq \lambda \leq 1$ מתקיים אי השוויון $\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)\leq f(\lambda x+(1-\lambda )y)$.

הגדרה שקולה: $\ f(x)$ היא קעורה אם $\ -f(x)$ היא קמורה.

אם $\,f$ גזירה בקטע פתוח, אזי $\,f$ קעורה בו אם ורק אם הנגזרת $\,f'$ היא פונקציה מונוטונית יורדת.

אם הפונקציה גזירה פעמיים בקטע, ניתן לזהות קעירות באמצעות הנגזרת השנייה שלה - אם הנגזרת השנייה שלילית בכל הקטע, הפונקציה קעורה בו.

פונקציות לינאריות

פונקציה לינארית נחשבת קעורה וקמורה בעת ובעונה אחת, בגלל אי־השוויון החלש ($\leq$ ו־$\geq$). פיתוח של הגדרת הקמירות או הקעירות, כאשר הפונקציה המדוברת היא לינארית, מוביל לשוויון ממש בין שני האגפים.

ראו גם

• פונקציה קמורה