תורת הקבוצות - מונחים

• תורת הקבוצות: ענף במתמטיקה העוסק בתכונותיהן של קבוצות, ומשמש כבסיס לאקסיומטיזציה של המתמטיקה.
  • תורת הקבוצות הנאיבית: ניסוח אינטואיטיבי של הרעיונות היסודיים של תורת הקבוצות, כפי שהתפתחה במשך השנים.
  • תורת הקבוצות האקסיומטית: גרסה פורמלית, בעלת ביסוס אקסיומטי מוצק, של תורת הקבוצות, שפותחה כדי למנוע סתירות ופרדוקסים כדוגמת הפרדוקס של ראסל.

• קבוצה: מושג יסודי בתורת הקבוצות. התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם.

• תת קבוצה: קבוצה B היא תת קבוצה של הקבוצה A אם כל איבר של B שייך גם ל-A. נסמן זאת בצורה: $B\subseteq A$.

• הקבוצה הריקה: קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן $\emptyset$ (שמקורו באות הנורווגית "Ø" ) או בצורה {}.
• יחידון (סינגלטון בלועזית): קבוצה שמכילה איבר אחד בלבד.
• פעולות על קבוצות:
  • איחוד: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את איברי כל הקבוצות שעליהן פעלה פעולת האיחוד.
    • הפעולה איחוד היא קומוטטיבית (חילופית) ואסוציאטיבית (קיבוצית).
  • חיתוך: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את האיברים ששייכים לכל אחת ואחת מהקבוצות שעליהן פעלה פעולת החיתוך.
    • הפעולה חיתוך היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
      • מתקיימת דיסטריבוטיביות של החיתוך מעל האיחוד ודיסטריבוטיביות האיחוד מעל החיתוך, כלומר $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ ו-$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
  • הפרש: ההפרש בין A ל־B הוא קבוצה המכילה את כל האיברים השייכים ל־A ולא שייכים ל־B.
    • פעולת ההפרש אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
  • הפרש סימטרי: ההפרש הסימטרי של הקבוצות A ו-B הוא הקבוצה המורכבת מכל איברי A שלא שייכים ל-B וכל איברי B שלא שייכים ל־A - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.
    • הפעולה הפרש סימטרי היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
  • מכפלה קרטזית: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות A,B היא קבוצה המכילה את כל הזוגות הסדורים שאיברם הראשון שייך ל-A והשני שייך ל-B. ניתן להרחיב פעולה זו לכל מספר, גם אינסופי, של קבוצות.
    • הפעולה "מכפלה קרטזית" אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
  • בחירה
• קבוצות זרות: שתי קבוצות הן זרות אם חיתוכן הוא הקבוצה הריקה.
• קבוצה אינסופית: קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.

• עוצמה: מושג המשקף את גודלה של קבוצה, כלומר את מספר איבריה. עוצמה של קבוצה A תסומן $\left|A\right|$.
  • $\aleph _{0}$(אלף אפס): עוצמתה של קבוצת מספרים הטבעיים.
  • $\aleph$ או ${\mathfrak {c}}$: עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים, נקראת גם 'עוצמת הרצף'.

• השערת הרצף: ההשערה כי לא קיימת עוצמה בין $\aleph _{0}$ ו-$\aleph$, זו השערה שלא ניתן להוכיח או להפריך תחת האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות (אקסיומות ZF).

• קבוצה בת מנייה: קבוצה שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים, כלומר ניתן למנות את איבריה.

• קבוצת החזקה: קבוצה המכילה את כל תת-הקבוצות של קבוצה נתונה. קבוצת החזקה של קבוצה A תסומן ${\mathcal {P}}(A)$ או $2^{A}$.

• יחס (בינארי): קבוצה שמכילה זוגות סדורים, כך שהאיבר הראשון בזוג בא תמיד מקבוצה מסוימת - A, והאיבר השני בא מקבוצה נוספת - B (לא בהכרח שונה מ-A). בכתיב פורמלי: קבוצה R תיקרא יחס מ-A ל-B אם $\!\,R\subseteq A\times B$.
  • פונקציה: יחס בו לכל איבר של A קיים זוג סדור *יחיד* שהוא האיבר הראשון שלו.
    • פונקציה חד-חד ערכית: פונקציה $\!\,f:X\rightarrow Y$ תקרא חד-חד ערכית (חח"ע) אם לכל y בטווח Y קיים לכל היותר x אחד בתחום X המקיים $\!\,f(x)=y$.
    • פונקציה על: פונקציה $\!\,f:X\rightarrow Y$ תקרא על אם לכל y בטווח Y קיים לפחות x אחד בתחום X המקיים $\!\,f(x)=y$.
    • פונקציה הפיכה: פונקציה שקיימת לה פונקציה הפכית; לכל $\ y$ קיים $\ x$ יחיד כך ש- $\ f(x)=y$ (כלומר, הפונקציה היא חח"ע ועל).
  • יחס שקילות: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות. יחס מעל קבוצה A המקיים את שלוש תכונות אלו מחלק אותה למחלקות שקילות.
  • סדר חלקי: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, אנטי סימטריות וטרנזיטיביות.
    • סדר מלא: סדר מלא הוא סדר חלקי בו כל שני איברים בקבוצה ניתנים להשוואה.
      • סדר טוב: סדר טוב הוא סדר מלא בו לכל תת-קבוצה של הקבוצה יש איבר ראשון.
    • שרשרת: קבוצה חלקית לקבוצה סדורה בסדר חלקי, שכל שני איברים בה ניתנים להשוואה (כלומר היא סדורה בסדר מלא).

• קבוצת כל הפונקציות מקבוצה A לקבוצה B: קבוצה המסומנת $B^{A}$ והמכילה את כל הפונקציות מהקבוצה A אל תוך הקבוצה B.

• הפרדוקס של ראסל: פרדוקס שהראה שתורת הקבוצות הנאיבית מכילה סתירות, והוביל לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית.

• ייחוס של קבוצה (או מחלקה) לקבוצה אחרת.

• משפטים:
  • משפט קנטור (לקבוצת החזקה): משפט אומר כי קבוצת החזקה של כל קבוצה גדולה ממנה ממש, כלומר מכילה מספר גדול יותר של איברים.
  • האלכסון של קנטור: קובע שעוצמת המספרים הממשיים גדולה מזו של הטבעיים.
  • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין: משפט האומר כי אם קיימת פונקציה חח"ע מקבוצה A לקבוצה B, וקיימת פונקציה חח"ע מהקבוצה B לקבוצה A, אז שתי הקבוצות שקולות.