דוגמה נגדית – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־11:02, 15 בדצמבר 2015

בלוגיקה ובמתמטיקה, דוגמה נגדית היא שיטה להפרכה של טענות.

שיטה זו מטפלת בטענות כלליות, כלומר טענות העוסקות באיבריה של קבוצה כלשהי, ומראה כי קיים לפחות מקרה פרטי אחד שבו הטענה אינה נכונה. די במקרה פרטי אחד זה, הקרוי דוגמה נגדית, כדי להפריך את הטענה.

להמחשה, בעבר חשבו שכל מספר שבנוי רק מהספרה 3, אך ספרת האחדות שלו היא 1, הוא מספר ראשוני. טענה זו אכן הייתה נכונה עבור מקרים פרטיים רבים: 31, 331, 3,331 וכו', אולם עם כניסת המחשב לבדיקת ראשוניות של המספרים, התברר כי המספר 333,333,331 הוא מכפלה של 17 ו-19,607,843 ולכן אינו ראשוני. המספר 333,333,331 מהווה דוגמה נגדית לַכלל שצוין ובכך מפריך אותו.

מבחינה לוגית אין העדפה לדוגמה נגדית אחת על פני אחרת, אולם מבחינה אסתטית ופדגוגית יש העדפה לדוגמה נגדית פשוטה ככל הניתן. לדוגמה יש אינסוף דוגמאות נגדיות לטענה "אם שלושה מספרים הם זרים (אין מספר גדול מ-1 שמחלק את שלושתם) אז הם זרים בזוגות (לכל שניים מביניהם אין מספר גדול מ-1 שמחלק את שניהם)". אולם מבין כל הדוגמאות הנגדיות עדיפה זו ה"מינימלית" (מערבת את המספרים הכי קטנים). את הדוגמה המינימלית ניתן לבנות בעזרת זוגות של מכפלות של הראשוניים הקטנים ביותר: 2, 3, 5; וכך מקבלים את השלשלה: 6, 10, 15.

@@ שורה 3: / שורה 3: @@
 שיטה זו מטפלת בטענות כלליות, כלומר טענות העוסקות באיבריה של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] כלשהי, ומראה כי קיים לפחות [[מקרה פרטי]] אחד שבו הטענה אינה נכונה. די במקרה פרטי אחד זה, הקרוי '''דוגמה נגדית''', כדי להפריך את הטענה.
-להמחשה, בעבר חשבו שכל מספר שבנוי רק מהספרה 3, אך ספרת האחדות שלו היא 1, הוא [[מספר ראשוני]]. טענה זו אכן הייתה נכונה עבור מקרים פרטיים רבים: 31, 331, 3,331 וכו', אולם עם כניסת ה[[מחשב]] ל[[בדיקת ראשוניות]] של המספרים, התברר כי המספר 333,333,331 הנו מכפלה של 17 ו-19,607,843 ולכן אינו ראשוני. המספר 333,333,331 מהווה דוגמה נגדית לַכלל שצוין ובכך מפריך אותו.
+להמחשה, בעבר חשבו שכל מספר שבנוי רק מהספרה 3, אך ספרת האחדות שלו היא 1, הוא [[מספר ראשוני]]. טענה זו אכן הייתה נכונה עבור מקרים פרטיים רבים: 31, 331, 3,331 וכו', אולם עם כניסת ה[[מחשב]] ל[[בדיקת ראשוניות]] של המספרים, התברר כי המספר 333,333,331 הוא מכפלה של 17 ו-19,607,843 ולכן אינו ראשוני. המספר 333,333,331 מהווה דוגמה נגדית לַכלל שצוין ובכך מפריך אותו.
 מבחינה לוגית אין העדפה לדוגמה נגדית אחת על פני אחרת, אולם מבחינה אסתטית ופדגוגית יש העדפה לדוגמה נגדית פשוטה ככל הניתן. לדוגמה יש אינסוף דוגמאות נגדיות לטענה "אם שלושה מספרים הם [[מספרים זרים|זרים]] (אין מספר גדול מ-1 ש[[מחלק]] את שלושתם) אז הם זרים בזוגות (לכל שניים מביניהם אין מספר גדול מ-1 שמחלק את שניהם)". אולם מבין כל הדוגמאות הנגדיות עדיפה זו ה"מינימלית" (מערבת את המספרים הכי קטנים). את הדוגמה המינימלית ניתן לבנות בעזרת זוגות של מכפלות של ה[[מספר ראשוני|ראשוניים]] הקטנים ביותר: 2, 3, 5; וכך מקבלים את השלשלה: 6, 10, 15.