תת-קבוצה – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־02:47, 17 במרץ 2016

בתורת הקבוצות, אומרים שהקבוצה הנתונה $\ B$ היא תת-קבוצה של הקבוצה הנתונה $\ A$ ^[1], אם כל איבר של הקבוצה $\ B$ שייך גם לקבוצה $\ A$ . (בניסוח פורמלי: לכל $\ x\in B$ מתקיים $\ x\in A$ ).

את הקשר " $\ B$ מוכלת ב- $\ A$ " (או: $\ B$ חלקית ל- $\ A$ , או: $\ B$ תת-קבוצה של $\ A$ , או, $\ A$ מכילה את $\ B$ ) מסמנים כך: $\ B\subseteq A$ , והוא מכונה יחס ההכלה.

מאפיינים

הקבוצה הריקה היא קבוצה חלקית / תת-קבוצה לכל קבוצה נתונה; זאת מכיוון שלא קיים בקבוצה הריקה איבר שלא נמצא בקבוצה הנתונה (הטענה נכונה באופן ריק, כיוון שלקבוצה הריקה אין איברים כלל).

את יחס ההכלה מאפיינים היחסים הבאים:

"רפלקסיביות": כל קבוצה היא תת-קבוצה של עצמה (ובמילים שקולות: כל קבוצה מוכלת בעצמה, או: כל קבוצה היא חלקית לעצמה).
"טרנזיטיביות": אם הקבוצה $\ A$ היא תת-קבוצה של הקבוצה $\ B$ והקבוצה $\ B$ היא תת-קבוצה של הקבוצה $\ C$ , אזי הקבוצה $\ A$ היא גם תת-קבוצה של הקבוצה $\ C$ (בניסוח פורמלי: אם $\ A\subseteq B$ וגם $\ B\subseteq C$ אז $\ A\subseteq C$ ).

אם כן, יחס ההכלה הוא יחס סדר חלקי: הוא רפלקסיבי, אנטיסימטרי חלש וטרנזטיבי. היחס אינו שלם: כי יש זוגות של קבוצות (כמו קבוצת הגברים וקבוצת הישראלים, או הקבוצה $\ \{1,2\}$ והקבוצה $\ \{2,3\}$ ) שאף אחת מהן אינה מכילה את רעותה.

יחסים נוספים

באמצעות יחס ההכלה ניתן להגדיר את יחס השוויון בין קבוצות; אומרים שהקבוצה $\ A$ שווה לקבוצה $\ B$ אם ורק אם הקבוצה $\ A$ מכילה את הקבוצה $\ B$ וגם הקבוצה $\ B$ מכילה את הקבוצה $\ A$ . (בכתיב פורמלי: $A=B\iff B\subseteq A\land A\subseteq B$ ).

באמצעות יחס ההכלה ויחס השוויון ניתן להגדיר יחס נוסף; כאשר הקבוצה $\ A$ מכילה את הקבוצה $\ B$ אך אינה שווה לה (יש איבר בקבוצה $\ A$ שהוא אינו איבר בקבוצה $\ B$ , ובניסוח פורמלי $\ B\subseteq A$ וגם $\ B\neq A$ ), נאמר שהקבוצה $\ A$ מכילה ממש את הקבוצה $\ B$ , או במילים שקולות: הקבוצה $\ B$ היא חלקית ממש לקבוצה $\ A$ . יחס זה מסמנים $\ B\subset A$ . (בכתיב פורמלי: $B\subset A\iff B\subseteq A\land B\neq A$ ).

הסימון $\ \subset$ עשוי להטעות: בעוד שכאן (ובמרבית הספרים והמאמרים המודרניים) מציינים $\ \subseteq$ ו- $\ \subset$ "הכלה" ו"הכלה ממש" בהתאמה, יש ספרים שבהם משתמשים בסימונים $\subset$ ו- $\subsetneq$ לאותן מטרות, בהתאמה.

ראו גם

תורת הקבוצות - מונחים

הערות שוליים

^ או במילים שקולות: הקבוצה $\ B$ היא חלקית לקבוצה $\ A$ , או: הקבוצה $\ B$ מוכלת בקבוצה $\ A$ , או: הקבוצה $\ A$ מכילה את הקבוצה $\ B$ .

[1] או במילים שקולות: הקבוצה $\ B$ היא חלקית לקבוצה $\ A$ , או: הקבוצה $\ B$ מוכלת בקבוצה $\ A$ , או: הקבוצה $\ A$ מכילה את הקבוצה $\ B$ .

[1]

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-[[תמונה:Group set.png|שמאל|ממוזער|250px|[[דיאגרמת ון]] של קבוצה עם תת-קבוצה המוכלת בה]]
+[[תמונה:Group set.png|ממוזער|250px|[[דיאגרמת ון]] של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] עם תת-קבוצה המוכלת בה.]]
-ב[[תורת הקבוצות]], אומרים שה[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] הנתונה <math>\ B</math> היא '''תת-קבוצה''' של הקבוצה הנתונה <math>\ A</math>{{הערה|1=או במילים שקולות: הקבוצה <math>\ B</math> היא '''חלקית''' לקבוצה <math>\ A</math>, או:  הקבוצה <math>\ B</math> '''מוכלת''' בקבוצה <math>\ A</math>, או: הקבוצה <math>\ A</math> '''מכילה''' את הקבוצה <math>\ B</math>.}} אם כל איבר של הקבוצה <math>\ B</math> שייך גם לקבוצה <math>\ A</math>. (בניסוח פורמלי: לכל <math>\ x\in B</math> מתקיים <math>\ x \in A</math>).
+ב[[תורת הקבוצות]], אומרים שה[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] הנתונה <math>\ B</math> היא '''תת-קבוצה''' של הקבוצה הנתונה <math>\ A</math>{{הערה|1=או במילים שקולות: הקבוצה <math>\ B</math> היא '''חלקית''' לקבוצה <math>\ A</math>, או:  הקבוצה <math>\ B</math> '''מוכלת''' בקבוצה <math>\ A</math>, או: הקבוצה <math>\ A</math> '''מכילה''' את הקבוצה <math>\ B</math>.}}, אם כל [[איבר (מתמטיקה)|איבר]] של הקבוצה <math>\ B</math> שייך גם לקבוצה <math>\ A</math>. (בניסוח [[פורמליזם (מתמטיקה)|פורמלי]]: לכל <math>\ x\in B</math> מתקיים <math>\ x \in A</math>).
 את הקשר "<math>\ B</math> מוכלת ב-<math>\ A</math>" (או: <math>\ B</math> חלקית ל-<math>\ A</math>, או: <math>\ B</math> תת-קבוצה של <math>\ A</math>, או,  <math>\ A</math> מכילה את <math>\ B</math>) מסמנים כך: <math>\ B \subseteq A</math>, והוא מכונה '''יחס ההכלה'''.
 ==מאפיינים==
-[[הקבוצה הריקה]] היא קבוצה חלקית לכל קבוצה נתונה. זאת מכיוון שלא קיים בקבוצה הריקה איבר שלא נמצא בקבוצה הנתונה (הטענה נכונה [[באופן ריק]] כיוון שלקבוצה הריקה אין איברים כלל).
+[[הקבוצה הריקה]] היא קבוצה חלקית / תת-קבוצה לכל קבוצה נתונה; זאת מכיוון שלא קיים בקבוצה הריקה איבר שלא נמצא בקבוצה הנתונה (הטענה נכונה [[באופן ריק]], כיוון שלקבוצה הריקה אין איברים כלל).
-את יחס ההכלה מאפיינים היחסים הבאים:
+את [[יחס]] ההכלה מאפיינים היחסים הבאים:
 * "[[יחס רפלקסיבי|רפלקסיביות]]": כל קבוצה היא תת-קבוצה של עצמה (ובמילים שקולות: כל קבוצה מוכלת בעצמה, או: כל קבוצה היא חלקית לעצמה).
 * "[[טרנזיטיביות]]": אם הקבוצה <math>\ A</math> היא תת-קבוצה של הקבוצה <math>\ B</math> והקבוצה <math>\ B</math> היא תת-קבוצה של הקבוצה <math>\ C</math>, אזי הקבוצה <math>\ A</math> היא גם תת-קבוצה של הקבוצה <math>\ C</math> (בניסוח פורמלי: אם <math>\ A \subseteq B</math> וגם <math>\ B \subseteq C</math> אז <math>\ A \subseteq C</math>).
@@ שורה 18: / שורה 18: @@
 באמצעות יחס ההכלה ויחס השוויון ניתן להגדיר יחס נוסף; כאשר הקבוצה <math>\ A</math> מכילה את הקבוצה <math>\ B</math> אך אינה שווה לה (יש איבר בקבוצה <math>\ A</math> שהוא אינו איבר בקבוצה <math>\ B</math>, ובניסוח פורמלי <math>\ B \subseteq A</math> וגם <math>\ B \neq A</math>), נאמר שהקבוצה <math>\ A</math> '''מכילה ממש''' את הקבוצה <math>\ B</math>, או במילים שקולות: הקבוצה <math>\ B</math> היא '''חלקית ממש''' לקבוצה <math>\ A</math>. יחס זה מסמנים <math>\ B \subset A</math>. (בכתיב פורמלי: <math>B \subset A\iff B\subseteq A \and B\neq A</math>).
-הסימון <math>\ \subset</math> עשוי להטעות: בעוד שכאן (ובמרבית הספרים והמאמרים המודרניים) מציינים <math>\ \subseteq</math> ו-<math>\ \subset</math> הכלה ו"הכלה ממש" בהתאמה, יש ספרים שבהם משתמשים בסימונים <math>\subset</math> ו-<math>\subsetneq</math> לאותן מטרות, בהתאמה.
+ה[[סימון מתמטי|סימון]] <math>\ \subset</math> עשוי להטעות: בעוד שכאן (ובמרבית הספרים והמאמרים המודרניים) מציינים <math>\ \subseteq</math> ו-<math>\ \subset</math> "הכלה" ו"הכלה ממש" בהתאמה, יש ספרים שבהם משתמשים בסימונים <math>\subset</math> ו-<math>\subsetneq</math> לאותן מטרות, בהתאמה.
 ==ראו גם==
-*[[מונחים בתורת הקבוצות]]
+*[[תורת הקבוצות - מונחים]]
 ==הערות שוליים==