לדלג לתוכן

הבדלים בין גרסאות בדף "חוק סטוקס"

נוספו 4,042 בתים ,  לפני 5 שנים
אין תקציר עריכה
(←‏תנועה בהשפעת גרביטציה: הייתה טעות בנוסחה, לא צריך חלקי הצפיפות במכנה. אפשר לראות את הנוסחה הנכונה בויקיפדיה אנגלית ובשלל מקומות אחרים.)
עבור תנועה במהירויות גבוהות (מספר ריינולדס לא קטן) חוק סטוקס נשבר ובגבול של מספר ריינולדס גדול כוח הגרר מתכונתי ל-<math>\ v^2 </math>.
עם זאת, חוק סטוקס תקף במגוון רחב של מצבים ויש לו חשיבות גדולה בחקר תנועת גופים בתווך צמיג, כמו למשל מחקר של תנועת [[מיקרואורגניזם|מיקרואורגניזמים]] ו[[תא]]ים ב[[נוזל]].
 
== גזירת חוק סטוקס ==
{{פסקה בעבודה}}
בגלל הסימטריה הגלילית של הבעיה יחסית לציר שכיוונו ככיוון מהירות התנועה של הכדור, נוח יותר להציג את הבעיה במערכת [[קואורדינטות כדוריות]] שראשיתה במרכז הכדור. במערכת צירים כזאת למהירות הזרימה הצמיגה והאי-דחיסה מסביב לכדור לא תהיה רכיב מהירות אזימוטלי אלא רק רכיב מהירות רדיאלי ורכיב מהירות משיקי. העובדה שה[[דיברגנץ]] של שדה הזרימה מסביב לכדור הוא אפס מאפשרת להציג את פונקציית הזרימה ([[פונקציית הזרימה של סטוקס]]) הבאה:
 
<math>
\begin{align}
u_r &= + \frac{1}{r^2\, \sin(\theta)}\, \frac{\partial \Psi}{\partial \theta},
\\
u_\theta &= - \frac{1}{r\, \sin(\theta)}\, \frac{\partial \Psi}{\partial r}.
\end{align}
</math>.
 
כדי לתאר את פילוג הלחץ במרחב מסביב לכדור נשתמש בהנחות שהזרימה היא תמידית (כלומר הנגזרת הזמנית של וקטור המהירות בנקודה כלשהי היא אפס) ושהזרימה היא [[זורם ניוטוני|ניוטונית]] , ולכן [[גרדיאנט]] הלחץ שווה למכפלת מקדם הצמיגות ב[[לפלסיאן]] של שדה המהירות:
 
<math>\nabla P = \mu \nabla^2 u</math>.
 
כיוון ש[[ערבוליות]] הזרימה בנקודה שווה לגרדיאנט המהירות המקומי, הלפלסיאן של שדה המהירות ניתן לחישוב על ידי לקיחת ה[[רוטור]] של שדה המהירות פעמיים, כלומר לקיחת הרוטור של הערבוליות. מהצבת הביטויים ל- <math>u_{\theta}</math> ו- <math>u_{r}</math> מקבלים:
 
<math>\boldsymbol{\omega} =
\begin{pmatrix}
0 \\[1ex]
0 \\[1ex]
\displaystyle -\frac{1}{r\sin\theta} \left(\frac{\partial^2\Psi}{\partial r^2} + \frac{\sin\theta}{r^2}{\partial \over \partial \theta}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial\Psi}{\partial \theta}\right)\right)
\end{pmatrix}.
</math>
 
 
את הפעולה <math>\left(\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{\sin\theta}{r^2}{\partial \over \partial \theta}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\right)
</math> נסמן כ[[אופרטור]] E. כיוון שלקיחת הרוטור של הערבוליות נותנת את שדה גרדיאנט הלחץ, לקיחת הרוטור פעם נוספת תיתן אפס (הרוטור של שדה גרדיאנט הוא אפס). הצבה מפורשת נותנת:
 
<math>E^2\psi = 0</math>.
 
ננחש פתרון מהצורה <math>\Psi(r,\theta) = sin^2(\theta)f(r)</math>. האופרטור E כאשר הוא פועל על פונקציה מהצורה הזאת שקול (ניתן להראות זאת) לאופרטור:
<math>sin^2(\theta)(\frac{\partial^2}{\partial r^2} - \frac {2} {r^2}f(r)) = sin^2(\theta)g(r)</math>, כלומר הצורה הפונקציונלית נשמרת, ולכן הפעלת האופרטור פעמיים נותנת, לאחר גזירה ארוכה:
 
<math>\frac{\partial^4 f(r)}{\partial r^4} - \frac {4}{r^2}\frac{\partial^2 f(r)}{\partial r^2} + \frac{8}{r^3}\frac{\partial f(r)}{\partial r} - 8f(r) = 0</math>.
 
נכפול פי <math>r^4</math> ונקבל:
<math>r^4\frac{\partial^4 f(r)}{\partial r^4} - 4r^2\frac{\partial^2 f(r)}{\partial r^2} + 8r\frac{\partial f(r)}{\partial r} - 8f(r) = 0</math>.
 
ננחש פתרון מהצורה <math>f(r) = r^k</math> ונקבל לאחר צמצום <math>f(r) = r^{{k - 4}}</math> את הפולינום <math>k^4 - 4k(k - 1) + 8k - 8 = k^4 - 4k^2 + 12k -8 = 0</math>, אשר לו פתרונות <math>k = -1,+1,+2,+4</math>. לפיכך הפתרון למשוואה הוא סכום של חזקות אלה של r, כלומר הוא מהצורה:
 
<math>f(r) = \frac {A}{r} + Br + Cr^2 + Dr^4 </math>
 
 
==תנועה בהשפעת גרביטציה==