מעגל חסום

בגאומטריה של המישור, מעגל חסום במצולע הוא מעגל המשיק לכל הצלעות של המצולע. בין המצולעים שיש להם מעגל חסום: כל המשולשים וכל המצולעים המשוכללים. מלבן (שאינו ריבוע) הוא דוגמה למצולע שאין לו מעגל חסום.

המעגל החסום במשולש

מעגל חסום במשולש

במשולש, מרכז המעגל החסום הוא הנקודה שבה נפגשים שלושת חוצי הזוויות של המשולש. הסיבה לכך היא שחוצה הזווית הוא המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקיהן משתי הצלעות שווים זה לזה, ומרחקו של מרכז המעגל החסום משלוש הצלעות, הוא קבוע.

מכיוון שהמעגל כולו נמצא בתוך המשולש, הרי שבפרט מרכזו של המעגל החסום נמצא תמיד בתוך המשולש (להבדיל ממרכז המעגל החוסם שנמצא בתוך המשולש, על אחת הצלעות או מחוץ למשולש, בהתאם לסוג המשולש).

נסמן ב-p = (a + b + c)/2 את מחצית היקף המשולש. רדיוס המעגל החסום הוא $\ r={\frac {S}{p}}$, כאשר S הוא שטח המשולש, שאותו אפשר לחשב לפי נוסחת הרון $S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$.

משפט אוילר, הקרוי של שמו של המתמטיקאי לאונרד אוילר, קובע כי המרחק d בין מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום של משולש מקיים: $d^{2}=R\cdot (R-2r)$, כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם ו- r הוא רדיוס המעגל החסום. מנוסחה זו נובע כי $R\geq 2r$.

הקטעים המחברים את קודקודי המשולש עם נקודות ההשקה של הצלעות למעגל החסום, נפגשות בנקודה אחת הקרויה נקודת Gergonne של המשולש.

מעגל חסום במצולע משוכלל

מעגל חסום ומעגל חוסם במשובע משוכלל

במצולע משוכלל, מרכז המעגל החסום מתלכד עם מרכז המעגל החוסם.

נסמן:

n - מספר הצלעות של המצולע המשוכלל

t - אורך הצלע במצולע המשוכלל

R - רדיוס המעגל החוסם

r - רדיוס המעגל החסום.

מתקיים:

$\ t=2r\tan {\frac {\pi }{n}}=2R\sin {\frac {\pi }{n}}$

$\ r={\frac {1}{2}}t\cot {\frac {\pi }{n}}=R\cos {\frac {\pi }{n}}$

$\ R={\frac {1}{2}}t\csc {\frac {\pi }{n}}=r\sec {\frac {\pi }{n}}$

חתכי חרוט

משפט פונסלה, שהוא אחד המשפטים החשובים בגאומטריה פרויקטיבית, קובע שאם C,D הם חתכי חרוט ויש מצולע בן n צלעות החסום באחד מהם וחוסם את השני, אז יש אינסוף מצולעים כאלה, וכולם בעלי אותו מספר צלעות.

ראו גם

• מעגל חוסם
• קבוע קפלר באוקמפ