פונקציות זוגיות ואי-זוגיות – הבדלי גרסאות
מ הוספת קטגוריה:סימטריה במתמטיקה באמצעות HotCat |
|||
שורה 70: | שורה 70: | ||
[[קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות: מאפיינים|זוגיות ואי-זוגיות]] |
[[קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות: מאפיינים|זוגיות ואי-זוגיות]] |
||
[[קטגוריה:סימטריה במתמטיקה]] |
גרסה מ־00:18, 29 במאי 2016
פונקציות זוגיות ואי-זוגיות הן פונקציות ממשיות בעלות סימטריה מוגדרת ביחס לישר (כלומר לציר ).
פונקציה זוגית
הגדרה: ערכה זהה עבור כל מספר בתחום ועבור המספר הנגדי לו, כלומר .
סימטריה: כל פונקציה זוגית היא סימטרית ביחס לציר .
דוגמאות של פונקציות זוגיות:
פונקציה אי-זוגית
הגדרה: ערכה עבור כל מספר בתחום הוא המספר הנגדי של ערכה עבור המספר הנגדי לו, כלומר .
סימטריה: כל פונקציה אי-זוגית היא אנטי-סימטרית ביחס לציר (כלומר סימטרית ביחס לסיבוב של סביב לראשית).
דוגמאות של פונקציות אי-זוגיות:
פונקציה כללית
הגדרה: פונקציה שאינה פונקציה זוגית ואינה פונקציה אי-זוגית הינה פונקציה כללית כלומר ש- וגם - .
ניתן לייצג כל פונקציה באמצעות סכום של פונקציה זוגית ואי זוגית באופן הבא:
- וזאת כאשר: ו
יצוג זה הוא יחיד. מכאן נובע שמרחב הפונקציות מהווה סכום ישר של מרחבי הפונקציות הזוגיות והאי-זוגיות (כשחיבור וכפל בסקלר מוגדרים נקודתית).
לפעמים, עבור פונקציות מרוכבות, הפונקציה הזוגיות והאי זוגית מיוצגים בהתאמה באופן הבא:
ו
או:
ו
בצורת כתיבה זאת ניתן להוכיח בקלות רבה תכונות של התמרת פורייה.
תכונות
- סכום פונקציות:
- סכום של פונקציות זוגיות הוא פונקציה זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אנליטית זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות זוגיות ובפתוח של פונקציה זוגית מ- לטור פורייה יופיעו רק איברי הקוסינוס).
- סכום של פונקציות אי-זוגיות הוא פונקציה אי-זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אנליטית אי-זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות אי-זוגיות ובפתוח של פונקציה אי-זוגית מ- לטור פורייה יופיעו רק איברי הסינוס).
- מכפלת פונקציות:
- מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית היא פונקציה זוגית.
- מכפלה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
- מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה אי-זוגית.
- הרכבת פונקציות:
- הרכבה של פונקציות זוגיות היא פונקציה זוגית.
- הרכבה של פונקציות אי-זוגיות היא פונקציה אי-זוגית.
- הרכבה של כל פונקציה עם פונקציה זוגית היא זוגית (אך לא להפך)
- גזירת פונקציה:
- נגזרת של פונקציה זוגית היא פונקציה אי-זוגית.
- נגזרת של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
- אינטגרל של פונקציה:
- כל פונקציה קדומה של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
- לפונקציה זוגית יש פונקציה קדומה אחת שהיא אי-זוגית - הפונקציה שבה המקדם החופשי שווה ל-0. שאר הפונקציות הקדומות הן כלליות.
- האינטגרל המסוים של פונקציה אי-זוגית בתחום סימטרי שווה לאפס.
- האינטגרל המסוים של פונקציה זוגית בתחום סימטרי שווה לפעמיים האינטגרל בחצי התחום הסימטרי.
- תכונת האפס: כל פונקציה אי זוגית המוגדרת בנקודה חייבת לקיים .