משלים (מתמטיקה)

בתורת הקבוצות, משלים של קבוצה G הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל האיברים שאינם נמצאים ב-G. זאת ביחס לקבוצה U כלשהי שהיא "הקבוצה האוניברסלית" - קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא תת קבוצה של U.

על-פי הגדרה זו, האיחוד של קבוצת G והמשלים של G הוא הקבוצה U, ואילו החיתוך ביניהן הוא קבוצה ריקה.

הגדרה פורמלית

דיאגרמת ון של המשלים של G בקבוצת U הוא השטח המסומן בצבע אפור.

תהא $\!\,U$ קבוצה, ותהא $\!\,G\subseteq U$ קבוצה חלקית שלה. אז המשלים של $\!\,G$ ב$\!\,U$ יוגדר כך: $\!\,G^{\complement }=U-G$. סימונים מקובלים נוסף למשלים הם $\!\,G',\ \complement _{U}G,\ {\overline {G}},\ -G$. עם זאת, הסימון ${\overline {G}}$ מתנגש לעתים עם שימושים אחרים של הסימון בקו עליון, ולכן מקובל להימנע ממנו.

דוגמה

תהא קבוצה N המכילה את כל המספרים הטבעיים 1,2,3,....

תהא קבוצה A המכילה רק את המספרים הטבעיים הזוגיים 2,4,6.... הקבוצה B היא המשלים של A ביחס ל-N אם היא מכילה את המספרים המוכלים ב-N אך לא ב-A, כלומר את המספרים הטבעיים האי זוגיים 1,3,5....

ניתן לראות כי החיתוך של A עם B נותן קבוצה ריקה, בעוד שאיחודן יוצר את הקבוצה N.

תכונות בסיסיות

$\!\,A^{\complement \complement }=A$, כלומר המשלים של המשלים של קבוצה הוא הקבוצה עצמה.

$\!\,A\cap A^{\complement }=\emptyset$, כלומר, חיתוך קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה הריקה.

$\!\,A\cup A^{\complement }=U$, כלומר, איחוד קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה האוניברסלית.

$\!\,U^{\complement }=\emptyset$, כלומר המשלים של הקבוצה האוניברסלית הוא הקבוצה הריקה.

$\!\,\emptyset ^{\complement }=U$, כלומר המשלים של הקבוצה הריקה הוא הקבוצה האוניברסלית.

כללי דה מורגן

כללי דה מורגן קושרים את הפעולות "איחוד", "חיתוך", "משלים". בכתיב פורמלי הם מוצגים כך:

$(A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }$

$(A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }$