לדלג לתוכן

מרחב מנה (אלגברה ליניארית) – הבדלי גרסאות

אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
==הגדרה==
 
יהא <math>V</math> [[מרחב וקטורי]] מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\mathbb{F}</math>, ויהי <math>W</math>תת-מרחב שלו. נגדיר [[יחס שקילות]] על ידי <math>v \sim v \Leftrightarrow v-u \in W</math> עבור כל <math>v,u \in V</math>. לא קשה להיווכח כי זה אכן יחס שקילות.
 
נסמן את מחלקת השקילות של וקטור <math>v \in V</math> להיות <math>\left[v\right] = \left\{u \in V \mid u \sim v \right\}</math>, ונתבונן באוסף מחלקות השקילות הללו, שנסמן <math>V/W</math>.
 
ניתן להגדיר באופן טבעי על <math>V/W</math> מבנה של מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>, על ידי פעולת חיבור <math>\left[v\right]+\left[u\right] = \left[v+u\right]</math> וכפל בסקלר <math>\lambda \cdot \left[v\right] = \left[\lambda \cdot v \right]</math>.
 
מגדירים פעולת חיבור מחלקות כך:
<math>\left[x\right] + \left[y\right] = \left[x + y\right]</math><BR>
וכן מגדירים כפל מחלקה בסקלר a מהשדה F:
<math>a\left[x\right]=\left[ax\right]</math><BR>
ומתקבל מרחב וקטורי המכונה '''מרחב המנה של V מעל W''' המסומן: V/W.
===הוכחת ~ יחס שקילות===
*'''רפלקסיביות''': לכל x &isin; V מתקיים x-x = 0 וכן 0 &isin; W מאחר ש W מרחב וקטורי
*'''סימטריות''': x-y &isin; W ומשום תכונת ה[[סגירות (אלגברה)|סגירות]] במרחב גם מתקיים y-x &isin; W.
*'''טרנזיטיביות''': x-y,y-z &isin; W ומשום תכונת הסגירות במרחב גם מתקיים (x-y)+(y-z) = x-z &isin; W.
 
==דוגמאות למרחב מנה==