מרחב מנה (אלגברה ליניארית) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 11: | שורה 11: | ||
==דוגמאות למרחב מנה== |
==דוגמאות למרחב מנה== |
||
* אם נתבונן במרחב הווקטורי <math>V = \mathbb{R}^2</math> ובתת המרחב <math>W = \left\{\left(x,y\right) \mid x=y \right\}</math> (הישר העובר בראשית בשיפוע 1), מרחב המנה שיתקבל <math>V/W</math> הוא אוסף כל הישרים בשיפוע 1 ב-<math>\mathbb{R}^2</math>. |
* אם נתבונן במרחב הווקטורי <math>V = \mathbb{R}^2</math> ובתת המרחב <math>W = \left\{\left(x,y\right) \mid x=y \right\}</math> (הישר העובר בראשית בשיפוע 1), מרחב המנה שיתקבל <math>V/W</math> הוא אוסף כל הישרים בשיפוע 1 ב-<math>\mathbb{R}^2</math>, ומרחב זה איזומורפי באופן טבעי למרחב <math>\mathbb{R}</math>. |
||
* באופן כללי יותר, אם נתבונן במרחב הווקטורי <math>\mathbb{R}^n</math> ובתת מרחב שלו <math>\mathbb{R}^m</math> לאיזה <math>m<n</math> המשוכן בו באופן טבעי, אז נקבל כי מרחב המנה <math>\mathbb{R}^n/\mathbb{R}^m</math> איזומורפי באופן טבעי למרחב <math>\mathbb{R}^{n-m}</math>. |
* באופן כללי יותר, אם נתבונן במרחב הווקטורי <math>\mathbb{R}^n</math> ובתת מרחב שלו <math>\mathbb{R}^m</math> לאיזה <math>m<n</math> המשוכן בו באופן טבעי, אז נקבל כי מרחב המנה <math>\mathbb{R}^n/\mathbb{R}^m</math> איזומורפי באופן טבעי למרחב <math>\mathbb{R}^{n-m}</math>. |
||
* באופן עוד יותר כללי, אם <math>V = W \oplus U</math>, אז מרחב המנה <math>V/U</math> איזומורפי באופן טבעי למרחב <math>W</math>. |
* באופן עוד יותר כללי, אם <math>V = W \oplus U</math>, אז מרחב המנה <math>V/U</math> איזומורפי באופן טבעי למרחב <math>W</math>. |
גרסה מ־13:36, 24 באוגוסט 2016
באלגברה לינארית, מרחב מנה של מרחב וקטורי המתקבל מתת-מרחב , הוא מרחב וקטורי המתקבל כתוצאה מ"דחיסת" ל-0. המרחב המתקבל בצורה זו מסומן . הגדרה זו יצר פאול הלמוס בשנת 1947 בספרו "Finite dimensional vector spaces".
הגדרה
יהא מרחב וקטורי מעל שדה , ויהי תת-מרחב שלו. נגדיר יחס שקילות על ידי עבור כל . לא קשה להיווכח כי זה אכן יחס שקילות.
נסמן את מחלקת השקילות של וקטור להיות , ונתבונן באוסף מחלקות השקילות הללו, שנסמן .
ניתן להגדיר באופן טבעי על מבנה של מרחב וקטורי מעל , על ידי פעולת חיבור וכפל בסקלר .
דוגמאות למרחב מנה
- אם נתבונן במרחב הווקטורי ובתת המרחב (הישר העובר בראשית בשיפוע 1), מרחב המנה שיתקבל הוא אוסף כל הישרים בשיפוע 1 ב-, ומרחב זה איזומורפי באופן טבעי למרחב .
- באופן כללי יותר, אם נתבונן במרחב הווקטורי ובתת מרחב שלו לאיזה המשוכן בו באופן טבעי, אז נקבל כי מרחב המנה איזומורפי באופן טבעי למרחב .
- באופן עוד יותר כללי, אם , אז מרחב המנה איזומורפי באופן טבעי למרחב .