משולש ישר-זווית – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
שורה 9: שורה 9:
==תכונות==
==תכונות==


* משולש ישר-זווית מקיים את '''[[משפט פיתגורס]]''': סכום ה[[שטח]]ים של [[ריבוע]]ים הבנויים על הניצבים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר.
* משולש ישר-זווית מקיים את '''[[משפט פיתגורס]]''': סכום ה[[שטח]]ים של [[ריבוע]]ים הבנויים על הנים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר
* ה[[תיכון (גאומטריה)|תיכון]] ליתר שווה למחצית מהיתר, ומכאן שהתיכון מחלק את המשולש לשני [[משולש שווה-שוקיים|משולשים שווי-שוקיים]].
* משולש ישר-זווית מקיים את [[משפט תאלס#המשפט השני|משפט תאלס]]: אם משולש ישר-זווית [[מעגל חוסם|חסום במעגל]], אז היתר מתלכד עם [[קוטר]] המעגל. התיכון ליתר הוא [[רדיוס]] במעגל החוסם.
* ה[[גובה (גאומטריה)|גובה]] ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים ה[[דמיון משולשים|דומים]] למשולש המקורי (ולכן גם דומים זה לזה). מכאן נובע [[משפט פיתגורס#אוקלידס|משפט אוקלידס]] - אורך הניצב הוא ה[[ממוצע גאומטרי|ממוצע הגאומטרי]] של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר.
* ריבוע הגובה ליתר שווה למכפלת שני הקטעים שהוא יוצר על היתר.
* כל ניצב הוא הגובה של הניצב השני.
* ניצב מול 30 מעלות שווה לחצי היתר. משפט הפוך: אם ניצב שווה חצי יתר - הזווית מול הניצב שווה 30 מעלות.
* [[חוצה זווית|חוצה הזווית]] הישרה חוצה גם את הזווית שבין התיכון לגובה.
אם הניצבים של המשולש הם <math>\ a</math> ו-<math>\ b</math>, היתר הוא <math>\ c</math> והגובה ליתר הוא <math>\ h</math>, אז מתקיים:
:<math>\ a^2+b^2=c^2</math> (משפט פיתגורס)
וכן:
:<math>\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{ h^2}</math>
שטח המשולש הוא:
שטח המשולש הוא:
:<math>\text{Area}=\frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}</math>
:<math>\text{Area}=\frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}</math>ציות טריגונומטריות
אם רדיוס ה[[מעגל חסום|מעגל החסום]] במשולש הוא <math>\ r</math>, אז מתקיים:
אם רדיוס ה[[מעגל חסום|מעגל החסום]] במשולש הוא <math>\ r</math>, אז מתקיים
:<math> r = \frac{1}{2}(a+b-c) = \frac{ab}{a+b+c}</math>
אם התיכונים לניצבים הם <math>\ m_a</math> ו-<math>\ m_b</math> והתיכון ליתר הוא <math>\ m_c</math>, אז מתקיים:
:<math>m_a^2 + m_b^2 = 5m_c^2 = \frac{5}{4}c^2 </math>


אם התיכונים לניצבים הם <math>\ m_a</math> ו-<math>\ m_b</math> והתיכון ליתר הוא <math>\ m_c</math>, אז מתקיים:
==הגדרת פונקציות טריגונומטריות==
{{ערך מורחב|פונקציות טריגונומטריות}}
:<math>m_a^2 + m_b^2 = 5m_c^2 = \frac{5}{4}c^2 </math>{{ערך מורחב|פונקציות טריגונומטריות}}
את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 ל-90 [[מעלה (זווית)|מעלות]] (<math>\frac{\pi}{2}</math> [[רדיאן|רדיאנים]]), מגדירים כ[[יחס (בין מספרים)|יחס]] בין שתי צלעות במשולש ישר-זווית.
את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 ל-90 [[מעלה (זווית)|מעלות]] (<math>\frac{\pi}{2}</math> [[רדיאן|רדיאנים]]), מגדירים כ[[יחס (בין מספרים)|יחס]] בין שתי צלעות במשולש ישר-זווית.



גרסה מ־17:08, 8 בספטמבר 2016

המונח "יתר" מפנה לכאן. לערך העוסק בדמות מקראית, ראו יתר הישמעאלי.
משולש ישר-זווית

משולש ישר-זווית הוא משולש בעל זווית ישרה.

במשולש זה, שתי הצלעות שכולאות את הזווית הישרה נקראות ניצבים, והצלע שמול הזווית הישרה נקראת יתר.

משולש ישר-זווית הוא הבסיס לפונקציות הטריגונומטריות.

תכונות

שטח המשולש הוא:

ציות טריגונומטריות

אם רדיוס המעגל החסום במשולש הוא , אז מתקיים

אם התיכונים לניצבים הם ו- והתיכון ליתר הוא , אז מתקיים:

ערך מורחב – פונקציות טריגונומטריות

את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 ל-90 מעלות ( רדיאנים), מגדירים כיחס בין שתי צלעות במשולש ישר-זווית.

עבור זווית הכלואה בין הניצב והיתר ומול הצלע מוגדר:

עבור זווית כללית מגדירים באמצעות מעגל היחידה.

משולשים ישרי-זווית מיוחדים

משולש כסף הוא משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. הזוויות שלו הן: 45, 45, 90. היחס בין אורך היתר לאורך הניצב הוא השורש הריבועי של 2. מריבוע שמועבר בו האלכסון מקבלים שני משולשי כסף. במשולש כסף אין לניצב מידה משותפת עם היתר.

משולש זהב הוא משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30. במשולש כזה אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זהב הוא חצי ממשולש שווה-צלעות. משולש נוסף המכונה בשם זה הוא משולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 מעלות, מכיוון שבמשולש זה מתקיימת התכונה הבאה: היחס בין השוקיים לבסיס או לחלופין, בין הבסיס לשוקיים הוא יחס הזהב.

קישורים חיצוניים