משולש ישר-זווית

משולש ישר-זווית

משולש ישר-זווית הוא משולש בעל זווית ישרה.

במשולש זה, שתי הצלעות שכולאות את הזווית הישרה נקראות ניצבים, והצלע שמול הזווית הישרה נקראת יתר.

משולש ישר-זווית הוא הבסיס לפונקציות הטריגונומטריות.

תכונות

• משולש ישר-זווית מקיים את משפט פיתגורס: סכום השטחים של ריבועים הבנויים על הניצבים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר.
• התיכון ליתר שווה למחצית מהיתר, ומכאן שהתיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי-שוקיים.
• משולש ישר-זווית מקיים את משפט תאלס: אם משולש ישר-זווית חסום במעגל, אז היתר מתלכד עם קוטר המעגל. התיכון ליתר הוא רדיוס במעגל החוסם.
• הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים הדומים למשולש המקורי (ולכן גם דומים זה לזה). מכאן נובע משפט אוקלידס - אורך הניצב הוא הממוצע הגאומטרי של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר.
• ריבוע הגובה ליתר שווה למכפלת שני הקטעים שהוא יוצר על היתר.
• כל ניצב הוא הגובה של הניצב השני.
• ניצב מול 30 מעלות שווה לחצי היתר. משפט הפוך: אם ניצב שווה חצי יתר - הזווית מול הניצב שווה 30 מעלות.
• חוצה הזווית הישרה חוצה גם את הזווית שבין התיכון לגובה.

אם הניצבים של המשולש הם $\ a$ ו-$\ b$, היתר הוא $\ c$ והגובה ליתר הוא $\ h$, אז מתקיים:

$\ a^{2}+b^{2}=c^{2}$ (משפט פיתגורס)

וכן:

${\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{h^{2}}}$

שטח המשולש הוא:

${\text{Area}}={\frac {ab}{2}}={\frac {ch}{2}}$

אם רדיוס המעגל החסום במשולש הוא $\ r$, אז מתקיים:

$r={\frac {1}{2}}(a+b-c)={\frac {ab}{a+b+c}}$

אם התיכונים לניצבים הם $\ m_{a}$ ו-$\ m_{b}$ והתיכון ליתר הוא $\ m_{c}$, אז מתקיים:

$m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}$

קקי גדול שווה לקקי קטן

הגדרת פונקציות טריגונומטריות

ערך מורחב – פונקציות טריגונומטריות

את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 ל-90 מעלות (${\frac {\pi }{2}}$ רדיאנים), מגדירים כיחס בין שתי צלעות במשולש ישר-זווית.

עבור זווית $\alpha$ הכלואה בין הניצב $\ b$ והיתר $\ c$ ומול הצלע $\ a$ מוגדר:

$\sin \alpha ={\frac {a}{c}},\,\cos \alpha ={\frac {b}{c}},\,\tan \alpha ={\frac {a}{b}},\,\sec \alpha ={\frac {c}{b}},\,\cot \alpha ={\frac {b}{a}},\,\csc \alpha ={\frac {c}{a}}$

עבור זווית כללית מגדירים באמצעות מעגל היחידה.

משולשים ישרי-זווית מיוחדים

משולש כסף הוא משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. הזוויות שלו הן: 45, 45, 90. היחס בין אורך היתר לאורך הניצב הוא השורש הריבועי של 2. מריבוע שמועבר בו האלכסון מקבלים שני משולשי כסף. במשולש כסף אין לניצב מידה משותפת עם היתר.

משולש זהב הוא משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30. במשולש כזה אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זהב הוא חצי ממשולש שווה-צלעות. משולש נוסף המכונה בשם זה הוא משולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 מעלות, מכיוון שבמשולש זה מתקיימת התכונה הבאה: היחס בין השוקיים לבסיס או לחלופין, בין הבסיס לשוקיים הוא יחס הזהב.

קישורים חיצוניים

• אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית
• משולש ישר-זווית, באתר MathWorld (באנגלית)