חוג נתרי

באלגברה מופשטת, חוג נתרי (או חוג נתרי) הוא חוג עם יחידה המקיים את תנאי השרשרת העולה על האידאלים השמאליים שלו, כלומר כל סדרה עולה ממש של אידאלים שמאליים בחוג כזה מוכרחה להסתיים. חוגים אלו קרויים על שמה של אמי נתר אשר חקרה חוגים אלה, בעקבות מורה דויד הילברט. מתנאי השרשרת נובע שכל אידאל שמאלי של החוג הוא בעל מספר יוצרים סופי, ועובדה זו מגבילה את הגודל והמורכבות של חוגים נתריים. במידה ידועה, תורת החוגים עוסקת בעיקר בחוגים נתריים, משום שחוגים שאינם נתריים הם פראיים ומסובכים מכדי שאפשר יהיה להבינם.

אחת התכונות החשובות של חוגים אלה היא שלאידאלים הראשוניים יש גובה סופי - ולכן אפשר ללמוד את הספקטרום באינדוקציה על הממד, דרך שרשראות של אידאלים ראשוניים. גובהם של האידאלים הראשוניים סופי, אבל אינו בהכרח חסום, ולכן ישנם חוגים נתריים שממד קרול שלהם אינסופי. עם זאת, לאלגברות אפיניות (קומוטטיביות), שהן אחד המקורות העיקריים לדוגמאות של חוגים נתריים, יש ממד קרול סופי.

תנאי השרשרת היורדת, שהוא דואלי לתנאי השרשרת העולה, מגדיר חוגים הנקראים ארטיניים. הסימטריה מדומה בלבד: כל חוג ארטיני הוא נתרי (משפט הופקינס-לויצקי). חוגים נתריים מקיימים את תנאי משפט גולדי, על שיכון חוגים ראשוניים (למחצה) בחוגים ארטיניים פשוטים (למחצה).

אוסף החוגים הנתריים סגור ביחס לפעולות אלגבריות מסוימות: חוג מנה של חוג נתרי הוא נתרי, וגם מכפלה ישרה של שני חוגים נתריים היא נתרית. לעומת זאת, (ובניגוד למצב עבור מודולים נתריים), תת-חוג של חוג נתרי אינו בהכרח נתרי. חוג הוא נתרי אם ורק אם כל המודולים הנוצרים סופית מעליו הם נתריים. חוג פולינומים מעל חוג נתרי הוא נתרי, וחוג המטריצות מעל חוג נתרי הוא נתרי.

הגדרות

הנתריות מוגדרת (ברוב הספרים) במונחי האידאלים השמאליים. באופן דומה אפשר להגדיר גם:

• חוג נתרי-ימני - חוג המקיים את התנאי ACC על אידאלים ימניים
• חוג נתרי חלש - חוג המקיים את התנאי ACC על אידאלים דו-צדדיים

ישנם חוגים נתריים שאינם נתריים ימניים (ולהפך), אבל בחוגים קומוטטיביים מתלכדות כל התכונות.

קריטריון לחוג נתרי

חוג הוא נתרי אם ורק אם הוא נתרי כמודול מעל עצמו (משום שהאידאלים השמאליים של החוג הם תת-המודולים שלו).

• "תנאי המקסימום" (לאידאלים שמאליים) קובע שבכל קבוצה לא ריקה של אידאלים שמאליים בחוג $\ R$, קיים איבר מקסימלי, כלומר אידאל שלא מוכל באף אידאל אחר מהקבוצה (אף על פי שאידאל כזה בדרך כלל אינו אידאל מקסימלי). חוג R הוא נתרי אם ורק אם הוא מקיים את תנאי המקסימום על אידאלים שמאליים.

מתנאי המקסימום אפשר להסיק שכל אידאל שמאלי בחוג מוכל באידאל שמאלי מקסימלי; תכונה זו נכונה בכל חוג, על-פי הלמה של צורן.

• "תנאי הבסיס הסופי": כל אידאל שמאלי $\ I$ ב-$\ R$ נוצר סופית (כלומר קיימים $\ a_{1},a_{2},...,a_{n}$ ב-$\ R$ כך ש $\ I=Ra_{1}+Ra_{2}+...+Ra_{n}$). החוג R מקיים תנאי זה אם ורק אם הוא נתרי.

משפט. חוג קומוטטיבי הוא נתרי אם ורק אם כל אידאל ראשוני נוצר סופית.

תכונות

• בחוג נתרי $\ R$, כל אידאל מכיל מכפלה (סופית) של אידאלים ראשוניים. מוכיחים זאת באמצעות תנאי המקסימום. בפרט, יש מכפלה של אידאלים ראשוניים השווה לאפס (בתחומי-שלמות נתריים אידאל האפס הוא בעצמו ראשוני).

• כל שדה הוא חוג נתרי. זה נובע מכך שהאידאלים היחידים בשדה הם השדה עצמו ו-$\ \{0\}$.
• משפט הבסיס של הילברט: אם $\ R$ חוג נתרי אז $\ R[x]$ חוג נתרי ($\ R[x]$ הוא חוג הפולינומים במספר סופי של משתנים מעל $\ R$). ניתן להוכיח זאת בשתי דרכים - על ידי תנאי המקסימום ועל ידי תנאי הבסיס הסופי. ההוכחה של הילברט עצמו עושה שימוש ניכר בתנאי הבסיס הסופי.
• כל תמונה הומומורפית $\ R'$ של חוג נתרי $\ R$ היא נתרית בעצמה. במלים אחרות, אם $\ R$ חוג נתרי ו-$\ I$ אידאל, אז חוג המנה $\ R/I$ גם הוא נתרי. (הוכחה: כל אידאל של חוג המנה הוא תמונה של אידאל של R, הנוצרת על ידי תמונתה של קבוצת יוצרים סופית שם).

משלוש התכונות האחרונות נובע שכל אלגברה קומוטטיבית נוצרת סופית היא נתרית.

• כל תחום שלמות נתרי $\ R$ הוא אטומי, כלומר: כל איבר $\ a$ שאינו הפיך אפשר להציג כמכפלה של איברים אי-פריקים מתוך $\ R$.

הוכחה: נשתמש כאן פעמיים בתנאי ה-ACC של חוג נתרי. נניח ש-a הוא איבר לא הפיך ב-R, ונגדיר את הסדרה $\left\{a_{n}\right\}$ על ידי הכללים: $\ a_{1}=a$; $\ a_{n}$ הוא מחלק אמיתי של $\ a_{n-1}$ (מחלק אמיתי - אינו הפיך, וגם המנה ביחס אליו אינה הפיכה). האידאלים מהצורה $\ Ra_{n}$ יוצרים שרשרת עולה ממש, ולכן, על פי תנאי ה-ACC, זו שרשרת סופית, והאיבר האחרון בה הוא אי-פריק. הוכחנו כי לכל איבר לא הפיך יש מחלק אי-פריק. נשתמש בעובדה זו על מנת ליצור סידרה חדשה $\left\{b_{n}\right\}$ המוגדרת על ידי: $\ b_{1}=a$; $\ b_{n-1}=b_{n}p_{n}$, כאשר $\ p_{n}$ אי-פריק. קיבלנו ש $\ a=p_{2}...p_{m}b_{m}$ הוא מכפלה של איברים אי-פריקים.

• כל תחום ראשי הוא נתרי (מכיוון שהאידאלים שלו נוצרים סופית).

השערת ג'ייקובסון, השואלת האם $\ \bigcap J(R)^{n}=0$ כאשר $\ J(R)$ הוא רדיקל ג'ייקובסון של החוג, פתוחה עבור חוגים שהם נתריים גם מימין וגם משמאל.

דוגמאות

• חוג המספרים השלמים - $\ \mathbb {Z}$. זה נובע מכך ש-$\ \mathbb {Z}$ הוא תחום ראשי.
• חוג השלמים ה-p-אדיים $\mathbb {Z} _{p}$ כאשר $\ p$ ראשוני. בחוג זה כל אידאל נוצר על ידי חזקה של $\ p$.
• חוג הפולינומים בשני משתנים מעל שדה המרוכבים: $\mathbb {C} [x,y]$. בחוג זה כל האידאלים נוצרים סופית. (לפי משפט הבסיס של הילברט).
• דוגמה לחוג לא חילופי שהוא נתרי-ימני אך לא נתרי שמאלי: נתבונן בחוג מטריצות מגודל $\ 2\times 2$ המוגדר: $\ R={\begin{pmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \\\end{pmatrix}}$.
  ניתן לראות שחוג זה אינו נתרי שמאלי אם נתבונן בקבוצת האידאלים הבאה: $\ I_{n}=\{{\begin{pmatrix}0&{\frac {m}{2^{n}}}\\0&0\\\end{pmatrix}}|m\in \mathbb {Z} \}$.
  עבור כל $\ n$, $\ I_{n}$ הוא אידאל שמאלי ב- $\ R$, ומתקיים: $\ I_{0}\subsetneq I_{1}\subsetneq I_{2}\subsetneq ...$. יש לנו שרשרת עולה אינסופית של אידאלים שמאליים ומכאן שהחוג אינו נתרי שמאלי. לעומת זאת החוג $\ R$ הוא נתרי ימני (הוכחה).

מקורות

• Oscar Zariski, Pierre Samuel. Commutative Algebra, D.Van Nostrand Company, New Jersey. Chapter 4
• Louis H.Rowen. Ring Theory, Volume 1, Academic Press, San Diego

קישורים חיצוניים

• הרחבה על חוגים נתריים ויישומיהם
• משפטים וחומר נוסף