|
|
שורה 1: |
שורה 1: |
|
ב[[[אנליזה מתמטית]]], '''משפט הפונקציה ההפוכה''', מגדיר [[תנאי מספיק]] לקיום סביבה של נקודה בה [[פונקציה רציפה]] היא [[פונקציה הפיכה|הפיכה]]. |
|
ב[אנליזה מתמטית], '''משפט הפונקציה ההפוכה''', מגדיר [[תנאי מספיק]] לקיום סביבה של נקודה בה [[פונקציה רציפה]] היא [[פונקציה הפיכה|הפיכה]]. |
|
|
|
|
|
== ניסוח == |
|
== ניסוח == |
ב[אנליזה מתמטית], משפט הפונקציה ההפוכה, מגדיר תנאי מספיק לקיום סביבה של נקודה בה פונקציה רציפה היא הפיכה.
ניסוח
תהי קבוצה פתוחה ותהי גזירה ברציפות. תהי עבורה היעקוביאן בנקודה . קיימת קבוצה פתוחה המקיימת , וקיימת קבוצה כך ש חד חד ערכית ב .
כמו כן, היא גם כן פתוחה והפונקציה ההפוכה גם כן גזירה ברציפות ומטריצת יעקובי של מקיימת: לכל
מקרה פרטי
זהי הכללה של המקרה הפרטי בו : תהי גזירה ברציפות. תהי נקודה המקיימת
מעובדה זו ומרציפות הנגזרת ניתן להסיק שקיימת שלכל ,.
נניח כי אז מהיות רציפה, לכל , שהרי אחרת היה קיים , ממשפט ערך הביינים.
לכן מונוטונית עולה ממש בכל גורר ש חד חד ערכית בכל .
מכאן ניתן להגדיר
הגזירה בכל נקודה פנימית ב על פי הגדרת הנגזרת של פונקציה הפיכה:
כי ובקטע זה הנגזרת של שונה מ-0.