משפט הפונקציה ההפוכה – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 1: שורה 1:
ב[[[אנליזה מתמטית]]], '''משפט הפונקציה ההפוכה''', מגדיר [[תנאי מספיק]] לקיום סביבה של נקודה בה [[פונקציה רציפה]] היא [[פונקציה הפיכה|הפיכה]].
ב[אנליזה מתמטית], '''משפט הפונקציה ההפוכה''', מגדיר [[תנאי מספיק]] לקיום סביבה של נקודה בה [[פונקציה רציפה]] היא [[פונקציה הפיכה|הפיכה]].


== ניסוח ==
== ניסוח ==

גרסה מ־14:19, 2 במרץ 2017

ב[אנליזה מתמטית], משפט הפונקציה ההפוכה, מגדיר תנאי מספיק לקיום סביבה של נקודה בה פונקציה רציפה היא הפיכה.

ניסוח

תהי קבוצה פתוחה ותהי גזירה ברציפות. תהי עבורה היעקוביאן בנקודה . קיימת קבוצה פתוחה המקיימת , וקיימת קבוצה כך ש חד חד ערכית ב .

כמו כן, היא גם כן פתוחה והפונקציה ההפוכה גם כן גזירה ברציפות ומטריצת יעקובי של מקיימת: לכל

מקרה פרטי

זהי הכללה של המקרה הפרטי בו : תהי גזירה ברציפות. תהי נקודה המקיימת

מעובדה זו ומרציפות הנגזרת ניתן להסיק שקיימת שלכל ,.

נניח כי אז מהיות רציפה, לכל , שהרי אחרת היה קיים , ממשפט ערך הביינים.

לכן מונוטונית עולה ממש בכל גורר ש חד חד ערכית בכל . מכאן ניתן להגדיר הגזירה בכל נקודה פנימית ב על פי הגדרת הנגזרת של פונקציה הפיכה: כי ובקטע זה הנגזרת של שונה מ-0.