לדלג לתוכן

הבדלים בין גרסאות בדף "הפרדת משתנים"

אין שינוי בגודל ,  לפני 3 שנים
←‏הפרדת משתנים במשוואה דיפרנציאלית חלקית: תיקון שגיאת דפוס (במעט->כמעט)
(←‏הפרדת משתנים במשוואה דיפרנציאלית חלקית: תיקון שגיאת דפוס (במעט->כמעט))
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד
 
בהינתן משוואה דיפרנציאלית חלקית עבור הפונקציה <math>\psi(\vec{x}, \vec{y})</math>, ניתן "לנחש פתרון" שבו הפונקציה <math>\psi</math> ניתנת להצגה כמכפלה של שתי פונקציות <math>\psi(\vec{x}, \vec{y})=f(\vec{x})\cdot g(\vec{y})</math>. כעת, ניתן לקחת את כל הנגזרות ולעבור ל<math>\frac{\partial \psi}{\partial x_i}=g\cdot \frac{\partial f}{\partial x_i}</math> וכך בדומה לנגזרות לפי <math>y_i</math>. כעת, השאיפה שלנו היא להפעיל על המשוואה מניפולציות אלגבריות, עד שהיא מגיעה לצורה כזו: <math display="block">h_x(f, \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j},\frac{\partial^3 f}{\partial x_i \partial x_j \partial x_k},\dots)=h_y(g, \frac{\partial g}{\partial y_i}, \frac{\partial^2 g}{\partial y_i \partial y_j},\frac{\partial^3 g}{\partial y_i \partial y_j \partial y_k},\dots)</math>. מדוע זה טוב לנו? מפני שהפונקציה באגף שמאל תלויה אך ורק בx, והפונקציה באגף ימין תלויה אך ורק בy. אם כך, אנחנו מקבלים שאגף שמאל לא יכול להיות תלוי בx - הרי שינוי של x בלבד ישפיע על אגף שמאל ולא על אגף ימין, אבל אז לא ייתכן שהם יישארו שווים. לכן שני האגפים שווים שניהם לקבוע שמכונה "'''קבוע ההפרדה'''". כעת, הפרדת המשתנים העבירה אותנו ממשוואה אחת ב"הרבה" נעלמים, לשתי משוואות עם פחות נעלמים בכל אחת. אם נמשיך לבצע הפרדות משתנים נגיע לבסוף למד"ר.
עם זאת, נשים לב שהפרדת משתנים פוגעת במעטכמעט תמיד בכלליות הפתרונות - למשל, ב[[משוואת שרדינגר]], כל פונקציית גל חוקית מקיימת את המשוואה אבל הפרדת משתנים מצמצמת אותנו לפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן כפול פונקציה זמנית. עם זאת, לעתים (כמו במשוואת שרדינגר) כל פתרון למשוואה ניתן להצגה כסכום של פתרונות המתקבלים מהפרדת המשתנים. במקרה זה לא הפסדנו הרבה.
 
== דוגמאות לשימוש בהפרדת משתנים ==
משתמש אלמוני