לדלג לתוכן

הבדלים בין גרסאות בדף "סדר חלקי"

נוספו 375 בתים ,  לפני 4 שנים
ע
מ (בוט החלפות: לחלופין)
(ע)
[[קובץ:Hasse diagram of powerset of 3.svg|שמאל|ממוזער|250px|[[דיאגרמת הסה]] של איברי [[קבוצת חזקה|קבוצת החזקה]] של {x, y, z} כאשר הסדר החלקי המוגדר עליהם הוא [[תת-קבוצה|הכלה]]]]
ב[[תורת הקבוצות]], '''סדר חלקי''' (מכונה גם "'''סדר חלקי חלש'''" או "'''סדר חלש'''") על [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] X הוא [[יחס בינארי]] <math>\!\,המקיים \le</math>אחת המקייםמשתי שלושקבוצות תכונותשל אקסיומות:
* היחס [[יחס טרנזיטיבי|טרנזיטיבי]], [[יחס אנטי-סימטרי|אנטי-סימטרי]] ו[[יחס רפלקסיבי|רפלקסיבי]] - זהו '''יחס סדר חלש'''.
*[[יחס רפלקסיבי|רפלקסיביות]]: לכל <math>\!\, a\isin X</math> מתקיים <math>\!\,a\le a </math>.
* היחס [[יחס טרנזיטיבי|טרנזיטיבי]] ו[[יחס א-סימטרי|א-סימטרי]] - זהו '''יחס סדר חזק'''.
*[[יחס אנטי-סימטרי|אנטי-סימטריות]]: אם <math>\!\,a\le b </math> וגם <math>\!\, b\le a</math> אז <math>\!\,a=b </math>.
*[[יחס טרנזיטיבי|טרנזיטיביות]]: אם <math>\!\,a\le b</math> וגם <math>\!\, b\le c</math> אז <math>\!\, a\le c</math>.
קבוצה שמוגדר עליה יחס סדר חלקי נקראת '''קבוצה סדורה''' (או '''קבוצה סדורה חלקית''').
 
אקסיומות אלה מתמצתות את התפיסה האינטואיטיבית של סדר: דבר אחד אינו יכול להיות גם גדול מדבר אחר וגם קטן ממנו, ואם דבר אחד קטן משני הקטן משלישי, אז הראשון קטן מן השלישי. מושג הסדר החלקי לוכד אינטואיציה זו באופן אקסיומטי.
 
מקובל לסמן יחסי סדר בווריאציות על [[סימן אי-השוויון]] '''>''', והיפוכו '''<'''. הסימון ליחסי סדר חלשים כולל גם רמז ל[[סימן השוויון]], כגון <math>\ \leq, \preceq</math>, בעוד שהסימון ליחסי סדר חזקים אינו כולל אותו: <math>\ <, \prec</math>).
יחס אנטי-סימטרי חזק וטרנזיטיבי נקרא '''יחס סדר חזק''' ומסומן a>b. ניתן להגדיר באמצעותו יחס סדר חלש: a≥b אם a>b או a=b. לחלופין ניתן באמצעות הסדר החלש להגדיר סדר חזק: a>b אם a≥b וגם a≠b.
 
אםשני עבורסוגי כלהיחסים שניכרוכים איבריםזה בזה: אם <math>\!\, a,b\isin Xleq</math> מתקייםיחס סדר חלש, אז היחס (<math>\!\, a \leleq b</math> אואבל <math>\! a \,neq b\le a</math>) אזהוא קוראיםיחס ליחססדר חזק. אם <math>\!\, \le<</math> '''סדריחס לינארי''' (או '''[[סדר מלא]]''')חזק, ולזוגאז היחס (<math>\!\, \left(X,a \le\right)< b</math> '''קבוצהאו סדורה לינארית''',<math>\ אוa '''[[שרשרת_(מתמטיקה= b</math>)|שרשרת]]''' הוא יחס סדר חלש.
 
הקבוצה X, יחד עם יחס הסדר, נקראת [[קבוצה סדורה]].
 
באופן כללי יכולים להיות שני אברים של X שאינם ניתנים להשוואה מבחינת היחס, ולכן הוא נקרא גם '''יחס סדר חלקי'''. אם עבור כל <math>\!\, a,b\isin X</math> מתקיים <math>\!\, a\le b</math> או <math>\!\, b\le a</math> אז קוראים ליחס <math>\!\, \le</math> '''סדר לינארי''' (או '''[[סדר מלא]]'''), ולזוג <math>\!\, \left(X, \le\right)</math> '''קבוצה סדורה לינארית''', או '''[[שרשרת (מתמטיקה)|שרשרת]]'''.
 
דוגמאות: