משולש ישר-זווית – הבדלי גרסאות
אין תקציר עריכה תגיות: חשד למילים בעייתיות חזרות עריכה חזותית |
מ שוחזר מעריכות של 37.142.251.231 (שיחה) לעריכה האחרונה של Ldorfman |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
{{מפנה|יתר|דמות מקראית|יתר הישמעאלי}} |
|||
==6== |
|||
[[קובץ:Rtriangle.svg|שמאל|ממוזער|250px|משולש ישר-זווית]] |
|||
'''משולש ישר-זווית''' הוא [[משולש]] בעל [[זווית ישרה]]. |
|||
במשולש זה, שתי ה[[צלע (גאומטריה)|צלע]]ות שכולאות את הזווית הישרה נקראות '''ניצבים''', והצלע שמול הזווית הישרה נקראת '''יתר'''. |
|||
משולש ישר-זווית הוא הבסיס ל[[פונקציות טריגונומטריות|פונקציות הטריגונומטריות]]. |
|||
==תכונות== |
|||
* משולש ישר-זווית מקיים את '''[[משפט פיתגורס]]''': סכום ה[[שטח]]ים של [[ריבוע]]ים הבנויים על הניצבים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר. |
* משולש ישר-זווית מקיים את '''[[משפט פיתגורס]]''': סכום ה[[שטח]]ים של [[ריבוע]]ים הבנויים על הניצבים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר. |
||
* ה[[תיכון (גאומטריה)|תיכון]] ליתר שווה למחצית מהיתר, ומכאן שהתיכון מחלק את המשולש לשני [[משולש שווה-שוקיים|משולשים שווי-שוקיים]]. |
* ה[[תיכון (גאומטריה)|תיכון]] ליתר שווה למחצית מהיתר, ומכאן שהתיכון מחלק את המשולש לשני [[משולש שווה-שוקיים|משולשים שווי-שוקיים]]. |
||
* משולש ישר-זווית מקיים את [[משפט תאלס#המשפט השני|משפט תאלס]]: אם משולש ישר-זווית [[מעגל חוסם|חסום במעגל]], אז היתר מתלכד עם [[קוטר]] המעגל. התיכון ליתר הוא [[רדיוס]] במעגל החוסם. |
|||
* משולש ישר-קעיירא57טאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאװגא67 |
|||
* ה[[גובה (גאומטריה)|גובה]] ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים ה[[דמיון משולשים|דומים]] למשולש המקורי (ולכן גם דומים זה לזה). מכאן נובע [[משפט פיתגורס#אוקלידס|משפט אוקלידס]] - אורך הניצב הוא ה[[ממוצע גאומטרי|ממוצע הגאומטרי]] של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר. |
|||
⚫ | |||
* ריבוע הגובה ליתר שווה למכפלת שני הקטעים שהוא יוצר על היתר. |
|||
* כל ניצב הוא הגובה של הניצב השני. |
|||
* ניצב מול 30 מעלות שווה לחצי היתר. משפט הפוך: אם ניצב שווה חצי יתר - הזווית מול הניצב שווה 30 מעלות. |
|||
* [[חוצה זווית|חוצה הזווית]] הישרה חוצה גם את הזווית שבין התיכון לגובה. |
|||
⚫ | |||
:<math>\ a^2+b^2=c^2</math> (משפט פיתגורס) |
:<math>\ a^2+b^2=c^2</math> (משפט פיתגורס) |
||
וכן: |
|||
⚫ | |||
:<math>\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{ h^2}</math> |
|||
שטח המשולש הוא: |
|||
:<math>\text{Area}=\frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}</math> |
|||
אם רדיוס ה[[מעגל חסום|מעגל החסום]] במשולש הוא <math>\ r</math>, אז מתקיים: |
|||
:<math> r = \frac{1}{2}(a+b-c) = \frac{ab}{a+b+c}</math> |
|||
⚫ | |||
:<math>m_a^2 + m_b^2 = 5m_c^2 = \frac{5}{4}c^2 </math> |
:<math>m_a^2 + m_b^2 = 5m_c^2 = \frac{5}{4}c^2 </math> |
||
==הגדרת פונקציות טריגונומטריות== |
==הגדרת פונקציות טריגונומטריות== |
||
{{ערך מורחב|פונקציות טריגונומטריות}} |
{{ערך מורחב|פונקציות טריגונומטריות}} |
||
את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 |
את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 ל-90 [[מעלה (זווית)|מעלות]] (<math>\frac{\pi}{2}</math> [[רדיאן|רדיאנים]]), מגדירים כ[[יחס (בין מספרים)|יחס]] בין שתי צלעות במשולש ישר-זווית. |
||
עבור זווית <math>\alpha</math> הכלואה בין הניצב <math>\ b</math> והיתר <math>\ c</math> ומול הצלע <math>\ a</math> מוגדר: |
עבור זווית <math>\alpha</math> הכלואה בין הניצב <math>\ b</math> והיתר <math>\ c</math> ומול הצלע <math>\ a</math> מוגדר: |
||
:<math>\sin\alpha =\frac {a}{c},\,\cos\alpha =\frac {b}{c},\,\tan\alpha =\frac {a}{b},\,\sec\alpha =\frac {c}{b},\,\cot\alpha =\frac {b}{a},\,\csc\alpha =\frac {c}{a}</math> |
|||
:יכ |
|||
עבור זווית כללית מגדירים באמצעות [[מעגל היחידה]]. |
|||
==משולשים ישרי-זווית מיוחדים== |
|||
בישראל משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30 מכונה לפעמים "משולש הזהב", ובו אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זה הוא חצי מ[[משולש שווה-צלעות]]. לרוב השם "משולש הזהב" שמור למשולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 |
בישראל משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30 מכונה לפעמים "משולש הזהב", ובו אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זה הוא חצי מ[[משולש שווה-צלעות]]. לרוב השם "משולש הזהב" שמור למשולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 מעלות, שכן היחס בין השוקיים לבסיס בו הוא [[יחס הזהב]]. |
||
בישראל מקובל גם המושג "משולש כסף", למשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. הזוויות שלו הן: 45, 45, 90. היחס בין אורך היתר לאורך הניצב הוא [[השורש הריבועי של 2|שורש 2]], שהוא ככל הנראה המספר ה[[מספר אי-רציונלי|אי-רציונלי]] הראשון שהתגלה. |
|||
==קישורים חיצוניים== |
|||
{{מיזמים|ויקישיתוף=Category:Right triangles}} |
|||
* [http://www.mathportal.org/calculators/plane-geometry-calculators/right-triangle-calculator.php אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית] |
* [http://www.mathportal.org/calculators/plane-geometry-calculators/right-triangle-calculator.php אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית] |
||
* {{MathWorld|RightTriangle}} |
* {{MathWorld|RightTriangle}} |
||
{{מצולעים ופאונים}} |
|||
[[קטגוריה:משולש]] |
[[קטגוריה:משולש]] |
גרסה מ־17:58, 13 באפריל 2017
משולש ישר-זווית הוא משולש בעל זווית ישרה.
במשולש זה, שתי הצלעות שכולאות את הזווית הישרה נקראות ניצבים, והצלע שמול הזווית הישרה נקראת יתר.
משולש ישר-זווית הוא הבסיס לפונקציות הטריגונומטריות.
תכונות
- משולש ישר-זווית מקיים את משפט פיתגורס: סכום השטחים של ריבועים הבנויים על הניצבים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר.
- התיכון ליתר שווה למחצית מהיתר, ומכאן שהתיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי-שוקיים.
- משולש ישר-זווית מקיים את משפט תאלס: אם משולש ישר-זווית חסום במעגל, אז היתר מתלכד עם קוטר המעגל. התיכון ליתר הוא רדיוס במעגל החוסם.
- הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים הדומים למשולש המקורי (ולכן גם דומים זה לזה). מכאן נובע משפט אוקלידס - אורך הניצב הוא הממוצע הגאומטרי של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר.
- ריבוע הגובה ליתר שווה למכפלת שני הקטעים שהוא יוצר על היתר.
- כל ניצב הוא הגובה של הניצב השני.
- ניצב מול 30 מעלות שווה לחצי היתר. משפט הפוך: אם ניצב שווה חצי יתר - הזווית מול הניצב שווה 30 מעלות.
- חוצה הזווית הישרה חוצה גם את הזווית שבין התיכון לגובה.
אם הניצבים של המשולש הם ו-, היתר הוא והגובה ליתר הוא , אז מתקיים:
- (משפט פיתגורס)
וכן:
שטח המשולש הוא:
אם רדיוס המעגל החסום במשולש הוא , אז מתקיים:
אם התיכונים לניצבים הם ו- והתיכון ליתר הוא , אז מתקיים:
הגדרת פונקציות טריגונומטריות
- ערך מורחב – פונקציות טריגונומטריות
את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 ל-90 מעלות ( רדיאנים), מגדירים כיחס בין שתי צלעות במשולש ישר-זווית.
עבור זווית הכלואה בין הניצב והיתר ומול הצלע מוגדר:
עבור זווית כללית מגדירים באמצעות מעגל היחידה.
משולשים ישרי-זווית מיוחדים
בישראל משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30 מכונה לפעמים "משולש הזהב", ובו אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זה הוא חצי ממשולש שווה-צלעות. לרוב השם "משולש הזהב" שמור למשולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 מעלות, שכן היחס בין השוקיים לבסיס בו הוא יחס הזהב.
בישראל מקובל גם המושג "משולש כסף", למשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. הזוויות שלו הן: 45, 45, 90. היחס בין אורך היתר לאורך הניצב הוא שורש 2, שהוא ככל הנראה המספר האי-רציונלי הראשון שהתגלה.
קישורים חיצוניים
- אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית
- משולש ישר-זווית, באתר MathWorld (באנגלית)
מצולעים ופאונים | ||
---|---|---|
מושגים | מצולע • פאון • קודקוד • צלע • מקצוע • פאה • זווית חיצונית • אלכסון | |
מצולעים | ||
לפי מספר צלעות | משולש • מרובע • מחומש • משושה • משובע • מתומן | |
משולשים | משולש ישר-זווית • משולש שווה-שוקיים • משולש שווה-צלעות | |
מרובעים | מקבילית • טרפז • טרפז שווה-שוקיים • מרובע ציקלי • דלתון • דלתון ריצוף • מעוין • מלבן • ריבוע | |
כוכבים | פנטגרם • מגן דוד • אניאגרם | |
תכונות | מצולע משוכלל • מצולע שווה-צלעות • מצולע קמור • כוכב | |
פאונים | ||
פאונים משוכללים | ארבעון • קובייה • תמניון • תריסרון • עשרימון | |
פאונים ארכימדיים | ארבעון קטום • קובוקטהדרון • קובייה קטומה • תמניון קטום • רומביקובוקטהדרון • קובוקטהדרון קטום • קובייה מסותתת • איקוסידודקהדרון • דודקהדרון קטום • איקוסהדרון קטום • רומביקוסידודקהדרון • איקוסידודקהדרון קטום • דודקהדרון מסותת | |
פאונים אחרים | פירמידה • מנסרה • אנטי-מנסרה • מקבילון • מעוינון • תיבה • איקוסיטטרהדרון | |
תכונות | פאון משוכלל • פאון משוכלל למחצה • פאון ארכימדי | |
הכללות | ||
הכללות | סימפלקס • היפרקובייה • טסרקט |