משולש ישר-זווית – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
מ שוחזר מעריכות של 37.142.251.231 (שיחה) לעריכה האחרונה של Ldorfman
שורה 1: שורה 1:
{{מפנה|יתר|דמות מקראית|יתר הישמעאלי}}
==6==
[[קובץ:Rtriangle.svg|שמאל|ממוזער|250px|משולש ישר-זווית]]
'''משולש ישר-זווית''' הוא [[משולש]] בעל [[זווית ישרה]].

במשולש זה, שתי ה[[צלע (גאומטריה)|צלע]]ות שכולאות את הזווית הישרה נקראות '''ניצבים''', והצלע שמול הזווית הישרה נקראת '''יתר'''.

משולש ישר-זווית הוא הבסיס ל[[פונקציות טריגונומטריות|פונקציות הטריגונומטריות]].

==תכונות==


* משולש ישר-זווית מקיים את '''[[משפט פיתגורס]]''': סכום ה[[שטח]]ים של [[ריבוע]]ים הבנויים על הניצבים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר.
* משולש ישר-זווית מקיים את '''[[משפט פיתגורס]]''': סכום ה[[שטח]]ים של [[ריבוע]]ים הבנויים על הניצבים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר.
* ה[[תיכון (גאומטריה)|תיכון]] ליתר שווה למחצית מהיתר, ומכאן שהתיכון מחלק את המשולש לשני [[משולש שווה-שוקיים|משולשים שווי-שוקיים]].
* ה[[תיכון (גאומטריה)|תיכון]] ליתר שווה למחצית מהיתר, ומכאן שהתיכון מחלק את המשולש לשני [[משולש שווה-שוקיים|משולשים שווי-שוקיים]].
* משולש ישר-זווית מקיים את [[משפט תאלס#המשפט השני|משפט תאלס]]: אם משולש ישר-זווית [[מעגל חוסם|חסום במעגל]], אז היתר מתלכד עם [[קוטר]] המעגל. התיכון ליתר הוא [[רדיוס]] במעגל החוסם.
* משולש ישר-קעיירא57טאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאװגא67
* ה[[גובה (גאומטריה)|גובה]] ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים ה[[דמיון משולשים|דומים]] למשולש המקורי (ולכן גם דומים זה לזה). מכאן נובע [[משפט פיתגורס#אוקלידס|משפט אוקלידס]] - אורך הניצב הוא ה[[ממוצע גאומטרי|ממוצע הגאומטרי]] של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר.
וא <math>\ c</math> והגובה ליתר הוא <math>\ h</math>, אז מתקיים:
* ריבוע הגובה ליתר שווה למכפלת שני הקטעים שהוא יוצר על היתר.
* כל ניצב הוא הגובה של הניצב השני.
* ניצב מול 30 מעלות שווה לחצי היתר. משפט הפוך: אם ניצב שווה חצי יתר - הזווית מול הניצב שווה 30 מעלות.
* [[חוצה זווית|חוצה הזווית]] הישרה חוצה גם את הזווית שבין התיכון לגובה.
אם הניצבים של המשולש הם <math>\ a</math> ו-<math>\ b</math>, היתר הוא <math>\ c</math> והגובה ליתר הוא <math>\ h</math>, אז מתקיים:
:<math>\ a^2+b^2=c^2</math> (משפט פיתגורס)
:<math>\ a^2+b^2=c^2</math> (משפט פיתגורס)
וכן:
וכן:8וט9ןהם <math>\ m_a</math> ו-<math>\ m_b</math> והתיכון ליתר הוא <math>\ m_c</math>, אז מתקיים:
:<math>\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{ h^2}</math>
שטח המשולש הוא:
:<math>\text{Area}=\frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}</math>
אם רדיוס ה[[מעגל חסום|מעגל החסום]] במשולש הוא <math>\ r</math>, אז מתקיים:
:<math> r = \frac{1}{2}(a+b-c) = \frac{ab}{a+b+c}</math>
אם התיכונים לניצבים הם <math>\ m_a</math> ו-<math>\ m_b</math> והתיכון ליתר הוא <math>\ m_c</math>, אז מתקיים:
:<math>m_a^2 + m_b^2 = 5m_c^2 = \frac{5}{4}c^2 </math>
:<math>m_a^2 + m_b^2 = 5m_c^2 = \frac{5}{4}c^2 </math>


==הגדרת פונקציות טריגונומטריות==
==הגדרת פונקציות טריגונומטריות==
{{ערך מורחב|פונקציות טריגונומטריות}}
{{ערך מורחב|פונקציות טריגונומטריות}}
את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 לזחיזין-90 [[מעלה (זווית)|מעלות]] (<math>\frac{\pi}{2}</math> [[רדיאן|רדיאנים]]), מגדירים כ[[יחס (בין מספרים)|יחס]] בין שתי צלעות במשולש ישר-זווית.
את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 ל-90 [[מעלה (זווית)|מעלות]] (<math>\frac{\pi}{2}</math> [[רדיאן|רדיאנים]]), מגדירים כ[[יחס (בין מספרים)|יחס]] בין שתי צלעות במשולש ישר-זווית.


עבור זווית <math>\alpha</math> הכלואה בין הניצב <math>\ b</math> והיתר <math>\ c</math> ומול הצלע <math>\ a</math> מוגדר:
עבור זווית <math>\alpha</math> הכלואה בין הניצב <math>\ b</math> והיתר <math>\ c</math> ומול הצלע <math>\ a</math> מוגדר:
:<math>\sin\alpha =\frac {a}{c},\,\cos\alpha =\frac {b}{c},\,\tan\alpha =\frac {a}{b},\,\sec\alpha =\frac {c}{b},\,\cot\alpha =\frac {b}{a},\,\csc\alpha =\frac {c}{a}</math>
:יכ
עבור זווית כללית מגדירים באמצעות [[מעגל היחידה]].


==משולשים ישרי-זווית מיוחדים==
בישראל משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30 מכונה לפעמים "משולש הזהב", ובו אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זה הוא חצי מ[[משולש שווה-צלעות]]. לרוב השם "משולש הזהב" שמור למשולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 ", לקישורים חיצוניים{{מיזמים|ויקישיתוף=Category:Right triangles}}
בישראל משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30 מכונה לפעמים "משולש הזהב", ובו אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זה הוא חצי מ[[משולש שווה-צלעות]]. לרוב השם "משולש הזהב" שמור למשולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 מעלות, שכן היחס בין השוקיים לבסיס בו הוא [[יחס הזהב]].

בישראל מקובל גם המושג "משולש כסף", למשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. הזוויות שלו הן: 45, 45, 90. היחס בין אורך היתר לאורך הניצב הוא [[השורש הריבועי של 2|שורש 2]], שהוא ככל הנראה המספר ה[[מספר אי-רציונלי|אי-רציונלי]] הראשון שהתגלה.

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקישיתוף=Category:Right triangles}}
* [http://www.mathportal.org/calculators/plane-geometry-calculators/right-triangle-calculator.php אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית]
* [http://www.mathportal.org/calculators/plane-geometry-calculators/right-triangle-calculator.php אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית]
* {{MathWorld|RightTriangle}}
* {{MathWorld|RightTriangle}}

{{מצולעים ופאונים}}


[[קטגוריה:משולש]]
[[קטגוריה:משולש]]

גרסה מ־17:58, 13 באפריל 2017

המונח "יתר" מפנה לכאן. לערך העוסק בדמות מקראית, ראו יתר הישמעאלי.
משולש ישר-זווית

משולש ישר-זווית הוא משולש בעל זווית ישרה.

במשולש זה, שתי הצלעות שכולאות את הזווית הישרה נקראות ניצבים, והצלע שמול הזווית הישרה נקראת יתר.

משולש ישר-זווית הוא הבסיס לפונקציות הטריגונומטריות.

תכונות

  • משולש ישר-זווית מקיים את משפט פיתגורס: סכום השטחים של ריבועים הבנויים על הניצבים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר.
  • התיכון ליתר שווה למחצית מהיתר, ומכאן שהתיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי-שוקיים.
  • משולש ישר-זווית מקיים את משפט תאלס: אם משולש ישר-זווית חסום במעגל, אז היתר מתלכד עם קוטר המעגל. התיכון ליתר הוא רדיוס במעגל החוסם.
  • הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים הדומים למשולש המקורי (ולכן גם דומים זה לזה). מכאן נובע משפט אוקלידס - אורך הניצב הוא הממוצע הגאומטרי של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר.
  • ריבוע הגובה ליתר שווה למכפלת שני הקטעים שהוא יוצר על היתר.
  • כל ניצב הוא הגובה של הניצב השני.
  • ניצב מול 30 מעלות שווה לחצי היתר. משפט הפוך: אם ניצב שווה חצי יתר - הזווית מול הניצב שווה 30 מעלות.
  • חוצה הזווית הישרה חוצה גם את הזווית שבין התיכון לגובה.

אם הניצבים של המשולש הם ו-, היתר הוא והגובה ליתר הוא , אז מתקיים:

(משפט פיתגורס)

וכן:

שטח המשולש הוא:

אם רדיוס המעגל החסום במשולש הוא , אז מתקיים:

אם התיכונים לניצבים הם ו- והתיכון ליתר הוא , אז מתקיים:

הגדרת פונקציות טריגונומטריות

ערך מורחב – פונקציות טריגונומטריות

את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 ל-90 מעלות ( רדיאנים), מגדירים כיחס בין שתי צלעות במשולש ישר-זווית.

עבור זווית הכלואה בין הניצב והיתר ומול הצלע מוגדר:

עבור זווית כללית מגדירים באמצעות מעגל היחידה.

משולשים ישרי-זווית מיוחדים

בישראל משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30 מכונה לפעמים "משולש הזהב", ובו אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זה הוא חצי ממשולש שווה-צלעות. לרוב השם "משולש הזהב" שמור למשולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 מעלות, שכן היחס בין השוקיים לבסיס בו הוא יחס הזהב.

בישראל מקובל גם המושג "משולש כסף", למשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. הזוויות שלו הן: 45, 45, 90. היחס בין אורך היתר לאורך הניצב הוא שורש 2, שהוא ככל הנראה המספר האי-רציונלי הראשון שהתגלה.

קישורים חיצוניים