לדלג לתוכן

הבדלים בין גרסאות בדף "הרחבת גלואה"

נוספו 477 בתים ,  לפני 3 שנים
אין תקציר עריכה
2. נסמן ב- <math>\ \alpha = \sqrt[4]{2}</math> את השורש ה'''רביעי''' של 2. השדה <math>\ L=\mathbb{Q}[\alpha]</math> אינו הרחבת גלואה של <math>\ \mathbb{Q}</math>, משום שההרחבה אינה נורמלית: <math>\ \alpha</math> הוא שורש של הפולינום <math>\ x^4-2</math>, שהוא אי-פריק (לפי [[קריטריון אייזנשטיין]]) אבל השורש <math>\ i\alpha</math> אינו שייך ל-K. לעומת זאת, L הוא הרחבת גלואה של שדה הביניים <math>\ L_0 = \mathbb{Q}[\sqrt{2}]</math>. סגור גלואה של ההרחבה <math>\ L/\mathbb{Q}</math> מתקבל מצירוף כל השורשים של הפולינום המינימלי ל-<math>\ \mathbb{Q}</math>, ושווה משום כך ל- <math>\ K = \mathbb{Q}[\alpha,i\alpha,-\alpha,-i\alpha] = \mathbb{Q}[\alpha,i]</math>. זוהי הרחבה מממד 8, שחבורת גלואה שלה היא ה[[חבורה דיהדרלית|חבורה הדיהדרלית]] מאותו סדר.
 
== הכללה לשדותלהרחבות של חוגים ==
 
בתורת החוגים הקומוטטיביים, הרחבה S של חוג R, יחד עם חבורה G של אוטומורפיזמים של S, נקראת '''הרחבת גלואה''' של R אם S [[מודול פרוייקטיבי]] מעל R, תת-החוג האינווריאנטי תחת G הוא R, ולכל אידמפוטנט e של S פעולת G נאמנה על Se (כלומר לכל <math>\ \sigma \neq 1</math> קיים <math>\ x\in S</math> כך ש-<math>\ (\sigma(x)-x)e \neq 0</math>). הרחבת שדות K/F היא הרחבת גלואה של חוגים אם ורק אם היא הרחבת גלואה של שדות. באופן כללי יותר, לכל הרחבת גלואה K/F, המכפלה הישרה <math>\ S = K \times \cdots \times K</math> היא הרחבת גלואה של F ביחס לחבורת אוטומורפיזמים הנוצרת על-ידי שיכון אלכסוני של <math>\ \operatorname{Gal}(K/F)</math> ו[[פעולה טרנזיטיבית]] [[פעולה רגולרית|רגולרית]] על העותקים של K.
 
בתורת החוגים הקומוטטיביים, הרחבה S של חוג R, יחד עם חבורה G של אוטומורפיזמים של S, נקראת '''הרחבת גלואה''' של R אם S [[מודול פרוייקטיבי]] מעל R, תת-החוג האינווריאנטי תחת G הוא R, ולכל אידמפוטנט e של S פעולת G נאמנה על Se (כלומר לכל <math>\ \sigma \neq 1</math> קיים <math>\ x\in S</math> כך ש-<math>\ (\sigma(x)-x)e \neq 0</math>). הרחבת שדות K/F היא הרחבת גלואה של חוגים אם ורק אם היא הרחבת גלואה של שדות. באופן כללי יותר, לכל הרחבת גלואה K/F, המכפלה הישרה <math>\ S = K \times \cdots \times K</math> היא הרחבת גלואה של F ביחס לחבורת אוטומורפיזמים הנוצרת על-ידי שיכון אלכסוני של <math>\ \operatorname{Gal}(K/F)</math> ו[[פעולה טרנזיטיבית]] [[פעולה רגולרית|רגולרית]] על העותקים של K. לדוגמא, אם R תחום שלמות, הרחבת גלואה הנוצרת על-ידי איבר אחד היא תמיד מהצורה <math>\ R[x]/\langle f(x) \rangle</math> כאשר הפולינום f [[פולינום מתוקן]] וה[[דיסקרימיננטה]] שלו היא איבר הפיך של R. בפרט, ההרחבה היחידה מדרגה 2 של חוג השלמים math>\ \mathbb{Z}</math> היא <math>\ \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}</math>.
[[קטגוריה:תורת השדות]]