פולינום אי פריק – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־03:15, 29 באוקטובר 2006

באלגברה, פולינום אי-פריק הוא פולינום, בדרך-כלל מעל שדה, שלא ניתן לכתוב אותו כמכפלה של שני פולינומים שאינם מדרגה 0 (פולינום פריק הוא פולינום שניתן להציגו באופן כזה). לפולינומים אי-פריקים יש תפקיד מרכזי בתורת גלואה, וגם בבניה של שדות סופיים.

הפריקות תלויה לא רק במקדמי הפולינום, אלא גם בשדה שבו מדובר - יתכן שפולינום יהיה אי-פריק מעל שדה מסויים, ויתפרק מעל שדה הרחבה שלו.

פולינומים אי-פריקים הם האיברים הראשוניים של חוג הפולינומים מעל השדה, שהוא חוג אוקלידי; בדיוק כפי שהראשוניים המוכרים הם האיברים הראשוניים של חוג המספרים השלמים. בשני המקרים, אפשר לפרק כל איבר של החוג למכפלה של איברים ראשוניים, באופן שהוא, מבחינה עקרונית, יחיד. האנלוגיה בין פולינומים (בעיקר מעל שדות סופיים) ובין מספרים שלמים מרחיקה לכת עד ליצירה של "תורת מספרים" של פולינומים, שבה משחקים הפולינומים האי-פריקים תפקיד מרכזי.

שיטות לזיהוי אי פריקות

פולינום ממעלה שנייה או שלישית הוא פריק אם ורק אם יש לו שורשים, כלומר אם קיים איבר בשדה שמאפס אותו.

קריטריון איזנשטיין הוא קריטריון עבור אי פריקות של פולינום בעל מקדמים שלמים (ובעזרת שימוש במכנה משותף אפשר להשתמש בו גם עבור מקדמים רציונליים). הוא מנוסח כך:

יהא $\ a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}$ פולינום במקדמים שלמים. אם קיים מספר ראשוני $\ p$ כך ש- $\ \forall i<n:p|a_{i}$ ( $\ p$ מחלק את כל המקדמים פרט לזה של החזקה הגבוהה ביותר) וכמו כן מתקיים $\ p\not {|}a_{n},p^{2}\not {|}a_{0}$ (כלומר, $\ p$ לא מחלק את המקדם של החזקה הגבוהה ביותר, וריבועו לא מחלק את המקדם החופשי) אז הפולינום הוא אי פריק מעל המספרים השלמים.

מן הלמה של גאוס נובע שאם פולינום מוגדר מעל תחום פריקות יחידה והוא פרימיטיבי ואי-פריק שם, אז הוא אי-פריק גם מעל שדה השברים של התחום.

דוגמה

נביט בשלושת הפולינומים הבאים:

$\ p_{1}(x)=x^{2}-4=(x-2)(x+2)$ .
$\ p_{2}(x)=x^{2}-2=(x-{\sqrt {(}}2))(x+{\sqrt {(}}2))$ .
$\ p_{3}(x)=x^{2}+1=(x-i)(x+i)$ .

מעל שדה המספרים הרציונליים $\mathbb {Q}$ רק הפולינום הראשון הוא פריק. שני האחרים אי-פריקים שכן שורש שתיים והמספר המדומה i אינם שייכים לשדה.

מעל שדה המספרים הממשיים $\mathbb {R}$ הפולינומים הראשון והשני פריקים, והשלישי לא.

מעל שדה המספרים המרוכבים $\mathbb {C}$ שלושת הפולינומים פריקים. דבר זה אינו מקרי: המשפט היסודי של האלגברה מראה כי כל פולינום ממעלה גדולה מ-1 הוא פריק מעל שדה המרוכבים.

תבנית:נ

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-ב[[אלגברה]], '''פולינום אי פריק''' הוא [[פולינום]] מעל [[שדה (אלגברה)|שדה]] שאינו ניתן להצגה כמכפלה של שני פולינומים שאינם קבועים, כלומר פולינומים מדרגה 0 (פולינום '''פריק''' הוא פולינום שניתן להציגו כך). הגדרה זו תלויה בשדה שמעליו מוגדר הפולינום, שכן ישנם פולינומים שמעל שדה אחד הם פריקים ומעל אחרים הם בלתי פריקים.
+ב[[אלגברה]], '''פולינום אי-פריק''' הוא [[פולינום]], בדרך-כלל מעל [[שדה (אלגברה)|שדה]], שלא ניתן לכתוב אותו כמכפלה של שני פולינומים שאינם מדרגה 0 (פולינום '''פריק''' הוא פולינום שניתן להציגו באופן כזה). לפולינומים אי-פריקים יש תפקיד מרכזי ב[[תורת גלואה]], וגם בבניה של [[שדה סופי|שדות סופיים]].
+הפריקות תלויה לא רק במקדמי הפולינום, אלא גם בשדה שבו מדובר - יתכן שפולינום יהיה אי-פריק מעל שדה מסויים, ויתפרק מעל [[הרחבה של שדות|שדה הרחבה]] שלו.
-לפולינומים אי פריקים שימושים ב[[תורת גלואה]] ובבניית [[שדה סופי|שדות סופיים]]. ניתן להראות כי כל שדה סופי ניתן להצגה בתור אוסף שאריות של חלוקה בפולינום אי פריק.
+פולינומים אי-פריקים הם האיברים הראשוניים של [[חוג הפולינומים]] מעל השדה, שהוא [[חוג אוקלידי]]; בדיוק כפי שה[[מספר ראשוני|ראשוניים]] המוכרים הם האיברים הראשוניים של [[חוג המספרים השלמים]]. בשני המקרים, אפשר לפרק כל איבר של החוג למכפלה של איברים ראשוניים, באופן שהוא, מבחינה עקרונית, יחיד. האנלוגיה בין פולינומים (בעיקר מעל שדות סופיים) ובין מספרים שלמים מרחיקה לכת עד ליצירה של "[[תורת המספרים|תורת מספרים]]" של פולינומים, שבה משחקים הפולינומים האי-פריקים תפקיד מרכזי.
-יש דמיון לא מבוטל בין [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]] ופולינומים אי פריקים. מספרים ראשוניים לא ניתנים להצגה כמכפלה לא טריוויאלית, שבה אחד המוכפלים הוא 1, ופולינום אי פריק לא ניתן להצגה כמכפלה לא טריוויאלית, שבה אחד המוכפלים הוא קבוע. כל מספר ניתן להצגה בצורה ייחודית (עד כדי החלפת סדר ההכפלה) של מספרים ראשוניים ([[המשפט היסודי של האריתמטיקה]]) ואילו כל פולינום ניתן להצגה בצורה ייחודית (עד כדי החלפת סדר ההכפלה וכפל בקבוע) של פולינומים אי פריקים.
+==שיטות לזיהוי אי פריקות==
+פולינום ממעלה שנייה או שלישית הוא פריק אם ורק אם יש לו [[שורש (של פונקציה)|שורשים]], כלומר אם קיים איבר בשדה שמאפס אותו.
+'''[[קריטריון איזנשטיין]]''' הוא קריטריון עבור אי פריקות של פולינום בעל מקדמים שלמים (ובעזרת שימוש במכנה משותף אפשר להשתמש בו גם עבור מקדמים רציונליים). הוא מנוסח כך:
+יהא <math>\ a_nx^n+\dots+a_1x+a_0</math> פולינום במקדמים שלמים. אם קיים [[מספר ראשוני]]  <math>\ p</math> כך ש- <math>\ \forall i<n:p|a_i</math>
+( <math>\ p</math> מחלק את כל המקדמים פרט לזה של החזקה הגבוהה ביותר)
+וכמו כן מתקיים  <math>\ p\not{|}a_n,p^2\not{|}a_0</math> (כלומר,  <math>\ p</math> לא מחלק את המקדם של החזקה הגבוהה ביותר, וריבועו לא מחלק את המקדם החופשי) אז הפולינום הוא אי פריק מעל המספרים השלמים.
+מן [[הלמה של גאוס]] נובע שאם פולינום מוגדר מעל [[תחום פריקות יחידה]] והוא [[פולינום פרימיטיבי|פרימיטיבי]] ואי-פריק שם, אז הוא אי-פריק גם מעל [[שדה שברים|שדה השברים]] של התחום.
 ==דוגמה==
@@ שורה 11: / שורה 23: @@
 #<math>\ p_3(x)=x^2+1=(x-i)(x+i)</math>.
-מעל שדה [[מספר רציונלי|המספרים הרציונליים]] <math>\mathbb{Q}</math> רק הפולינום הראשון הוא פריק. שני האחרים אי פריקים שכן שורש שתיים והמספר המדומה אינם שייכים לשדה.
+מעל שדה [[מספר רציונלי|המספרים הרציונליים]] <math>\mathbb{Q}</math> רק הפולינום הראשון הוא פריק. שני האחרים אי-פריקים שכן שורש שתיים והמספר המדומה i אינם שייכים לשדה.
 מעל שדה [[מספר ממשי|המספרים הממשיים]] <math>\mathbb{R}</math> הפולינומים הראשון והשני פריקים, והשלישי לא.
@@ שורה 17: / שורה 29: @@
 מעל שדה [[מספר מרוכב|המספרים המרוכבים]] <math>\mathbb{C}</math> שלושת הפולינומים פריקים. דבר זה אינו מקרי: [[המשפט היסודי של האלגברה]] מראה כי כל פולינום ממעלה גדולה מ-1 הוא פריק מעל שדה המרוכבים.
-==שיטות לזיהוי אי פריקות==
-משפט בסיסי קובע כי פולינום ממעלה שנייה או שלישית פריק אם ורק אם יש לו [[שורש (של פונקציה)|שורש]], כלומר איבר בשדה שמאפס אותו.
-'''[[קריטריון איזנשטיין]]''' הוא קריטריון עבור אי פריקות של פולינום בעל מקדמים שלמים (ובעזרת שימוש במכנה משותף אפשר להשתמש בו גם עבור מקדמים רציונליים). הוא מנוסח כך:
-יהא <math>\ a_nx^n+\dots+a_1x+a_0</math> פולינום במקדמים שלמים. אם קיים [[מספר ראשוני]]  <math>\ p</math> כך ש- <math>\ \forall i<n:p|a_i</math>
-( <math>\ p</math> מחלק את כל המקדמים פרט לזה של החזקה הגבוהה ביותר)
-וכמו כן מתקיים  <math>\ p\not{|}a_n,p^2\not{|}a_0</math> (כלומר,  <math>\ p</math> לא מחלק את המקדם של החזקה הגבוהה ביותר, וריבועו לא מחלק את המקדם החופשי) אז הפולינום הוא אי פריק מעל המספרים השלמים.
 {{נ}}