סדר חלקי – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Dinmo 1 (שיחה | תרומות)
Matanyabot (שיחה | תרומות)
מ בוט החלפות: \1מרבי
שורה 23: שורה 23:
איבר <math>\!\,a\isin X</math> נקרא '''איבר מינימלי''' (איבר מזערי) אם לא קיים <math>\!\,b\isin X</math> השונה ממנו כך ש <math>\!\,b\le a</math>.
איבר <math>\!\,a\isin X</math> נקרא '''איבר מינימלי''' (איבר מזערי) אם לא קיים <math>\!\,b\isin X</math> השונה ממנו כך ש <math>\!\,b\le a</math>.


איבר <math>\!\,a\isin X</math> נקרא '''איבר מקסימלי''' (איבר מירבי) אם לא קיים <math>\!\,b\isin X</math> השונה ממנו כך ש <math>\!\,a\le b</math>.
איבר <math>\!\,a\isin X</math> נקרא '''איבר מקסימלי''' (איבר מרבי) אם לא קיים <math>\!\,b\isin X</math> השונה ממנו כך ש <math>\!\,a\le b</math>.


איבר <math>\!\,a\isin X</math> נקרא '''מינימום''' (או לחלופין איבר קטן ביותר או איבר ראשון) אם לכל <math>\!\,b\isin X</math> מתקיים <math>\!\,a\le b</math>.
איבר <math>\!\,a\isin X</math> נקרא '''מינימום''' (או לחלופין איבר קטן ביותר או איבר ראשון) אם לכל <math>\!\,b\isin X</math> מתקיים <math>\!\,a\le b</math>.

גרסה מ־15:22, 1 בדצמבר 2017

דיאגרמת הסה של איברי קבוצת החזקה של {x, y, z} כאשר הסדר החלקי המוגדר עליהם הוא הכלה

בתורת הקבוצות, סדר חלקי על קבוצה X הוא יחס בינארי המקיים אחת משתי קבוצות של אקסיומות:

אקסיומות אלה מתמצתות את התפיסה האינטואיטיבית של סדר: דבר אחד אינו יכול להיות גם גדול מדבר אחר וגם קטן ממנו, ואם דבר אחד קטן משני הקטן משלישי, אז הראשון קטן מן השלישי. מושג הסדר החלקי לוכד אינטואיציה זו באופן אקסיומטי.

מקובל לסמן יחסי סדר בווריאציות על סימן אי-השוויון >, והיפוכו <. הסימון ליחסי סדר חלשים כולל גם רמז לסימן השוויון, כגון , בעוד שהסימון ליחסי סדר חזקים אינו כולל אותו: ).

שני סוגי היחסים כרוכים זה בזה: אם יחס סדר חלש, אז היחס ( אבל ) הוא יחס סדר חזק. אם יחס סדר חזק, אז היחס ( או ) הוא יחס סדר חלש. מאידך, יחס סדר אינו יכול להיות גם חזק וגם חלש (אלא אם מדובר ביחס הריק על הקבוצה הריקה).

הקבוצה X, יחד עם יחס הסדר, נקראת קבוצה סדורה.

באופן כללי יכולים להיות שני איברים של X שאינם ניתנים להשוואה מבחינת היחס, ולכן הוא נקרא גם יחס סדר חלקי. אם עבור כל מתקיים או אז קוראים ליחס סדר לינארי (או סדר מלא), ולזוג קבוצה סדורה לינארית, או שרשרת.

דוגמאות:

  • קבוצת כל המספרים הטבעיים עם הסדר הסטנדרטי עליהם, היא קבוצה סדורה לינארית. כך גם הממשיים.
  • יחס החלוקה של מספרים טבעיים מוגדר כך ש- אם ורק אם מחלק את . הקבוצה היא קבוצה סדורה חלקית שאינה סדורה לינארית, שכן לא ניתן, למשל, להשוות בין 5 ו-2, שאינם מחלקים אחד את השני.
  • יחס החלוקה אינו יחס סדר על המספרים השלמים כי אינו אנטי-סימטרי: וגם אף על פי ש-.

איברים מיוחדים

איבר נקרא איבר מינימלי (איבר מזערי) אם לא קיים השונה ממנו כך ש .

איבר נקרא איבר מקסימלי (איבר מרבי) אם לא קיים השונה ממנו כך ש .

איבר נקרא מינימום (או לחלופין איבר קטן ביותר או איבר ראשון) אם לכל מתקיים .

איבר נקרא מקסימום (או לחלופין איבר גדול ביותר או איבר אחרון) אם לכל מתקיים .

ההבדל בין איבר מקסימלי למקסימום הוא שבקבוצה סדורה חלקית לא תמיד ניתן להשוות איבר לשאר האיברים, ואילו מקסימום חייב להיות בר השוואה לכל שאר האיברים.

קבוצה סדורה לינארית שבה יש איבר ראשון לכל תת-קבוצה , נקראת קבוצה סדורה היטב.

כאשר מתקיים , ואין כך ש– , אז אומרים ש– מכסה את (ומכאן שבסדר צפוף אין שני איברים שמכסים זה את זה).

ראו גם