פונקציה אינטגרבילית בהחלט – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־19:32, 2 בינואר 2018

פונקציה ממשית f היא אינטגרבילית בהחלט אם פונקציית הערך המוחלט $\ |f|$ פונקציה אינטגרבילית. כל פונקציה אינטגרבילית בהחלט היא בפרט אינטגרבילית. הגדרה דומה חלה על פונקציה מרוכבת.

אינטגרביליות לפי רימן

לגבי אינטגרל רימן, פונקציה עשויה להיות אינטגרבילית אבל לא אינטגרבילית בהחלט, כגון $\ f(x)=\sin(\pi x)/x$ בטווח $\ [1,\infty )$ .

אינטגרביליות לפי לבג

בתורת המידה, האינטגרל של פונקציה חיובית מוגדר כסופרימום האינטגרלים של פונקציות פשוטות. האינטגרל של פונקציה ממשית f מוגדר כהפרש $\ \int f^{+}-\int f^{-}$ , כאשר $\ f^{+}=\max(f,0)$ ו- $\ f^{-}=\max(-f,0)$ הן המרכיב החיובי והשלילי, בהתאמה; הפונקציה אינטגרבילית בתנאי ששני המרכיבים אינטגרביליים. ממילא, האינטגרל של הערך המוחלט הוא $\ \int |f|=\int f^{+}+\int f^{-}$ , כך שהערך המוחלט אינטגרבילי לפי לבג אם ורק אם הפונקציה עצמה אינטגרבילית.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-פונקציה ממשית f היא '''אינטגרבילית בהחלט''' אם פונקציית הערך המוחלט <math>\ |f|</math> [[פונקציה אינטגרבילית]]. כל פונקציה אינטגרבילית בהחלט היא בפרט אינטגרבילית.
+[[פונקציה ממשית]] f היא '''אינטגרבילית בהחלט''' אם פונקציית הערך המוחלט <math>\ |f|</math> [[פונקציה אינטגרבילית]]. כל פונקציה אינטגרבילית בהחלט היא בפרט אינטגרבילית. הגדרה דומה חלה על [[פונקציה מרוכבת]].
 == אינטגרביליות לפי רימן ==
@@ שורה 7: / שורה 7: @@
 == אינטגרביליות לפי לבג ==
+ב[[תורת המידה]], האינטגרל של פונקציה חיובית מוגדר כסופרימום האינטגרלים של פונקציות פשוטות. האינטגרל של פונקציה ממשית f מוגדר כהפרש <math>\ \int f^+ - \int f^-</math>, כאשר <math>\ f^+ = \max(f,0)</math> ו-<math>\ f^- = \max(-f,0)</math> הן המרכיב החיובי והשלילי, בהתאמה; הפונקציה אינטגרבילית בתנאי ששני המרכיבים אינטגרביליים. ממילא, האינטגרל של הערך המוחלט הוא <math>\ \int |f| = \int f^+ + \int f^-</math>, כך שהערך המוחלט אינטגרבילי לפי לבג אם ורק אם הפונקציה עצמה אינטגרבילית.
-'''אינטגרביליות באופן מוחלט''' הוא מושג ב[[תורת המידה]], המכליל את מושג [[אינטגרל לבג|האינטרביליות]] של [[פונקציה מדידה]].
+[[קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות]]
-== הגדרה פורמלית ==
-נתחיל בכך שנזכר כי מושג האינטגרציה הפשוט ביותר הוא מושג האינטגרציה עבור פונקציות פשוטות. אם <math>(X,\Sigma, \mu)</math> [[מרחב מידה]] ו- <math>\varphi(x) = \sum_{n=1}^{N}a_n\cdot\chi_{A_n}(x)</math> היא [[פונקציה פשוטה]], אז האינטגרל של הפונקציה הזו מוגדר להיות  <math>\int \varphi \cdot d\mu = \sum_{n=1}^{N} a_n \cdot \mu(A_n)</math>.
+[[en:absolutely integrable function]]
-בעזרת האינטגרל על הפונקציה הפשוטה אפשר להגדיר אינטגרל על פונקציה מדידה וחיובית ובכך להכליל את מושג האינטגרל. כלומר, אם <math>f: X \to [0,\infty]</math> היא [[פונקציה|העתקה]] מדידה, אז נגדיר את [[אינטגרל|האינטגרל]] שלה להיות  <math>\int f\cdot d\mu = \sup_{0\leq \varphi \leq f} \int \varphi \cdot d\mu</math>, כאשר <math>\varphi</math> היא פונקציה פשוטה. מרחב הפונקציות המדידות, החיוביות והאינטגרביליות מסומן ב-<math>L^+(\mu)</math>.
-נשים לב, שלכל פונקציה <math>f: X \to [-\infty,\infty]</math> מתקיים שניתן להציגה [[אריתמטיקה]] של שתי פונקציות חיוביות <math>f = f^+ - f^-</math>. כאשר, <math>f^+ :=\max (f(x), 0)</math> ו- <math>f^- :=\min (-f(x), 0)</math>. לכן נאמר ש-<math>f</math> '''אינטגרבילית,''' אם <math>\int f^+ \cdot d \mu < \infty</math> '''וגם''' <math>\int f^- \cdot d \mu < \infty</math>. נגדיר את האינטגרל להיות <math>\int f \cdot d \mu = \int f^+ \cdot d\mu + \int f^- \cdot d\mu </math>. כמו כן, מרחב הפונקציות האינטגרביליות מסומן ב-<math>L^1(\mu)</math>.
-כעת, נגדיר את המושג אינטגרביליות באופן מוחלט. אם <math>f: X \to [-\infty,\infty]</math> היא העתקה מדידה, נאמר שהיא '''אינטגרבילית באופן מוחלט''' אם <math>\int f^+ \cdot d \mu < \infty</math> '''או <math>\int f^- \cdot d \mu < \infty</math>'''. כלומר, התנאי פה חלש יותר מאשר האינטגרביליות רגילה.
-== הקשר למידות מסומנות ==
-אם <math>f: X \to [-\infty,\infty]</math>  מדידה ואינטגרבילית באופן מוחלט אזי העתקה המוגדרת <math>\nu : A \to \int_{A} f \cdot d\mu</math> היא [[מידה מסומנת]].