לדלג לתוכן

תפריט ניווט

הבדלים בין גרסאות בדף "מערכת משוואות ליניאריות"

מ
בוט החלפות: \1ליניארי
מ (Kotz העביר את הדף מערכת משוואות לינאריות לשם מערכת משוואות ליניאריות: החלטת אקדמיה + עדכון בוט ההחלפות)
מ (בוט החלפות: \1ליניארי)
[[קובץ:Secretsharing-3-point.png|שמאל|ממוזער|250px|המחשה [[גאומטריה|גאומטרית]] של שלוש משוואות, המיוצגות על ידי שלושה [[מישור (גאומטריה)|מישורים]]. פתרון המערכת הוא ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] המשותפת לכולם]]
ב[[מתמטיקה]], '''מערכת משוואות לינאריותליניאריות''' היא אוסף של [[משוואה לינאריתליניארית|משוואות לינאריותליניאריות]] באותם [[משתנה|משתנים]]. '''פתרון''' של המערכת הוא ערכים עבור המשתנים, שהצבתם בכל אחת מהמשוואות תיתן פסוק אמת.
במסגרת ה[[אלגברה לינאריתליניארית|אלגברה הלינאריתהליניארית]] פותחה תאוריה מלאה של מערכות מסוג זה, ויש אלגוריתמים מהירים ויעילים לפתרון שלהן.
 
==מבנה כללי==
 
===הצגה באמצעות וקטורים===
ניתן להציג את המערכת בצורה של משוואה [[וקטור (אלגברה)|וקטור]]ית, כ[[צירוף לינאריליניארי]] של [[וקטור עמודה|וקטורי עמודה]]:
:<math>
x_1 \begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{m1}\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{bmatrix}
</math>
הצגה כזאת מאפשרת שימוש בתכונות של [[מרחב וקטורי]]. לדוגמה, האוסף של הצירופים הלינאריםהליניארים של הווקטורים בצד שמאל נקרא ה[[קבוצה פורשת|קבוצה הפורשת]] שלהם, ולמערכת יש פתרון רק כאשר הווקטור בצד ימין נמצא בקבוצה הזאת. במקרה כזה, הפתרון הוא מקדמי ההצגה. הבחנה זו מובילה ל[[משפט רושה קפלי]], הקובע שלמערכת יש פתרון אם ורק אם דרגת המטריצה של המקדמים שווה לדרגת המטריצה שלה מוסיפים את הווקטור הקבוע. אם אפשר להציג כל וקטור להביע אותו כצירוף לינאריליניארי של הווקטורים בצד שמאל, אז כל פתרון הוא ייחודי. בכל מקרה, למערכת יש [[בסיס (אלגברה)|בסיס]] של וקטורים שאינם [[תלות לינאריתליניארית|תלויים לינאריתליניארית]] שמבטיחים בדיוק ביטוי אחד, ומספר הווקטורים בבסיס אינו יכול להיות גדול מ-m או n, אך יכול להיות קטן מהם.
 
===הצגה באמצעות מטריצות===
מערכת משוואות לינאריותליניאריות ניתנת גם להצגה בעזרת [[מטריצה|מטריצות]]. המערכת מוגדרת כשוויון
:<math>A\bold{x}=\bold{b}</math>
כאשר:
\end{bmatrix}
</math>
מספר הווקטורים בבסיס הקבוצה הפורשת מבוטא כעת על ידי ה[[דרגה (אלגברה לינאריתליניארית)|דרגה]] של המטריצה.
 
==פתרון המערכת==
שתי העובדות הללו מבטאות את העובדה ש[[מרחב הפתרונות]] של מערכת הומוגנית הוא [[מרחב וקטורי]].
 
אבחנה זו מאפשרת לתאר את הפתרון הכללי ביותר למערכת הומוגנית בעזרת [[בסיס (אלגברה)|בסיס]] למרחב הפתרונות. ה[[ממד (אלגברה לינאריתליניארית)|ממד]] של מרחב הפתרונות שווה למספר המשתנים, פחות ה[[דרגה (אלגברה לינאריתליניארית)|דרגה]] של מטריצת המקדמים. הדרגה שווה למספר המשוואות הבלתי-תלויות.
 
'''משפט''': מעל שדה אינסופי, אם למערכת הומוגנית יש פתרון לא [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלי]], אז יש לה אינסוף פתרונות. מעל [[שדה סופי|שדה בגודל q]], מספר הפתרונות הוא תמיד חזקה של q. למשל כאשר מדובר ב[[שדה סופי]] <math>\mathbb{F}_3</math> במרחב מממד 2 אז מס' הפתרונות יהיה 9=3<sup>2</sup>, כלומר q בחזקת המימד הוא מס' הפתרונות.
=== פתרון של מערכת לא הומוגנית ===
 
במקרה של מערכת לא הומוגנית <math>\ A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>, מרחב הפתרונות הוא [[מרחב אפיני]] (או [[ישריה]]), כלומר: מרחב וקטורי + קבוע. במקרה זה הפתרון הכללי שווה לצירוף לינאריליניארי כלשהו של פתרונות ממרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית ועוד (ה)פתרון (ה)פרטי של המערכת הלא-הומוגנית.
 
'''משפט''': מעל שדה אינסופי, למערכת לא הומוגנית יכולים להיות אינסוף פתרונות, פתרון יחיד או שלא קיים פתרון בכלל.
'''משפט''': אם הפתרון יחיד אזי מטריצת המקדמים A היא [[מטריצה הפיכה|מטריצה הפיכה משמאל]] כלומר קיימת מטריצה P מסדר <math>\ n \times m</math> כך ש <math>\ P A= I_{n}</math> והפתרון נתון על ידי <math>\ \mathbf{x} = P \mathbf{b}</math>.
 
קיימות דרכים שיטתיות למציאת הפתרונות של מערכת משוואות לינאריתליניארית, המבוססות על הצגת המערכת בעזרת [[מטריצה|מטריצות]]. לא לכל מערכת יש פתרון יחיד - יש מערכות עם אינסוף פתרונות, ויש מערכות שאין להן פתרון.
 
=== דוגמה: המקרה הדו-ממדי (פירוש גאומטרי) ===
עבור מערכת עם <math>\ n</math> משתנים, כל משוואה מייצג מרחב <math>\ n-1</math> ממדי, המשוכנים במרחב <math>\ n</math>-ממדי אחד.
 
מערכת לינאריתליניארית של שתי משוואות בשני נעלמים אפשר בדרך כלל להביא לצורה הבאה:
 
:<math>\ y = m_1 x + n_1</math>
===דירוג מטריצות===
{{הפניה לערך מורחב|דירוג מטריצות}}
ניתן לפתור את המשוואה על ידי ה[[#הצגה באמצעות מטריצה|הצגה באמצעות מטריצה]] לעיל. מבצעים על המטריצה פעולות עד לקבלת [[דירוג מטריצות#מטריצה מדורגת קנונית|מטריצה מדורגת קנונית]], שממנה הפתרון נובע באופן מיידי. שיטה זו נקראת '''שיטת גאוס-ז'ורדן''' או "[[אלימינציית גאוס-ג'ורדן|שיטת האלימינציה של גאוס]]". שיטה זו לפתרון מערכת משוואות לינאריותליניאריות מבוססת על חיבור, חיסור והכפלה של משוואות ב[[סקלר (מתמטיקה)|סקלר]] על מנת להגיע לצורה ה[[דירוג מטריצות#מטריצה מדורגת קנונית|קנונית]] (צורת המדרגות) בה פתרון המשוואות מיידי. בשיטה זו מבודדים באופן שיטתי את המשתנים רק באמצעות פעולות לינאריותליניאריות על מערכת המשוואות שאינן משנות את קבוצת הפתרונות של המערכת: חיבור וחיסור משוואות, כפל משוואה ב[[סקלר (מתמטיקה)|סקלר]]. בהצגה מטריציונית פעולות אלה מתבטאות בחיבור או חיסור שורות, החלפת שורות, כפל שורה בקבוע מספרי והוספתה לשורה אחרת. המטרה הסופית היא להגיע למטריצת מדרגות (קנונית) באמצעות פעולות אלה, ממנה אפשר לקרוא ישירות את הפתרון. ([http://www.mathwords.com/g/g_assets/g1.gif דוגמה])
 
===נוסחת קרמר===
{{הפניה לערך מורחב|נוסחת קרמר}}
'''נוסחת קרמר''' היא שיטה לחישוב ישיר של פתרונות למערכת משוואות לינאריותליניאריות המשתמשת [[דטרמיננטה|בדטרמיננטות]]. שיטה זו טובה רק עבור מערכות של n משוואות ב-n נעלמים (כאלה עבורן מטריצת המקדמים ריבועית) עבורן קיים פתרון יחיד (כלומר, הדטרמיננטה של מטריצת המקדמים שונה מאפס).
 
נוסחת קרמר קובעת שאם <math> \ A \mathbf{x}=\mathbf{b}</math> היא המשוואה, אזי הרכיב ה-<math>\ k</math> של וקטור הפתרון <math>\mathbf{x}</math> נתון על ידי
</math>
 
== דרכי פתרון לפי רמות של מערכת משוואות לינאריותליניאריות עם פרמטרים ==
ברמה הראשונה של סוג המערכת הנ"ל מופיעים פרמטרים שאינם מוגבלים בערכים מסוימים.
לכן, הפתרון אינו דורש חקירה. לדוגמה המערכת:
<math>(3a,a-3)</math>
 
{{אלגברה לינאריתליניארית}}
[[קטגוריה:אלגברה ליניארית]]