משולש ישר-זווית

משולש ישר-זווית

משולש ישר-זווית הוא משולש בעל זווית ישרה.

במשולש זה, שתי הצלעות שכולאות את הזווית הישרה נקראות ניצבים, והצלע שמול הזווית הישרה נקראת יתר. מתמטיקה זה חרא בני גורן יימח שמך!

משולש ישר-זווית הוא הבסיס לפונקציות הטריגונומטריות .

תכונות

• משולש ישר-זווית מקיים את משפט פיתגורס: סכום השטחים של ריבועים הבנויים על הניצבים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר.
• התיכון ליתר שווה למחצית מהיתר, ומכאן שהתיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי-שוקיים.
• משולש ישר-זווית מקיים את משפט תאלס: אם משולש ישר-זווית חסום במעגל, אז היתר מתלכד עם קוטר המעגל. התיכון ליתר הוא רדיוס במעגל החוסם.
• הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים הדומים למשולש המקורי (ולכן גם דומים זה לזה). מכאן נובע משפט אוקלידס - אורך הניצב הוא הממוצע הגאומטרי של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר.
• ריבוע הגובה ליתר שווה למכפלת שני הקטעים שהוא יוצר על היתר.
• כל ניצב הוא הגובה של הניצב השני.
• ניצב מול 30 מעלות שווה לחצי היתר. משפט הפוך: אם ניצב שווה חצי יתר - הזווית מול הניצב שווה 30 מעלות.
• חוצה הזווית הישרה חוצה גם את הזווית שבין התיכון לגובה.

אם הניצבים של המשולש הם $\ a$ ו-$\ b$, היתר הוא $\ c$ והגובה ליתר הוא $\ h$, אז מתקיים:

$\ a^{2}+b^{2}=c^{2}$ (משפט פיתגורס)

וכן:

${\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{h^{2}}}$

שטח המשולש הוא:

${\text{Area}}={\frac {ab}{2}}={\frac {ch}{2}}$

אם רדיוס המעגל החסום במשולש הוא $\ r$, אז מתקיים:

$r={\frac {1}{2}}(a+b-c)={\frac {ab}{a+b+c}}$

אם התיכונים לניצבים הם $\ m_{a}$ ו-$\ m_{b}$ והתיכון ליתר הוא $\ m_{c}$, אז מתקיים:

$m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}$

הגדרת פונקציות טריגונומטריות

ערך מורחב – פונקציות טריגונומטריות

את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 ל-90 מעלות (${\frac {\pi }{2}}$ רדיאנים), מגדירים כיחס בין שתי צלעות במשולש ישר-זווית.

עבור זווית $\alpha$ הכלואה בין הניצב $\ b$ והיתר $\ c$ ומול הצלע $\ a$ מוגדר:

$\sin \alpha ={\frac {a}{c}},\,\cos \alpha ={\frac {b}{c}},\,\tan \alpha ={\frac {a}{b}},\,\sec \alpha ={\frac {c}{b}},\,\cot \alpha ={\frac {b}{a}},\,\csc \alpha ={\frac {c}{a}}$

עבור זווית כללית מגדירים באמצעות מעגל היחידה.

משולשים ישרי-זווית מיוחדים

בישראל משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30 מכונה לפעמים "משולש הזהב", ובו אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זה הוא חצי ממשולש שווה-צלעות. לרוב השם "משולש הזהב" שמור למשולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 מעלות, שכן היחס בין השוקיים לבסיס בו הוא יחס הזהב.

בישראל מקובל גם המושג "משולש כסף", למשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. הזוויות שלו הן: 45, 45, 90. היחס בין אורך היתר לאורך הניצב הוא שורש 2, שהוא ככל הנראה המספר האי-רציונלי הראשון שהתגלה.

קישורים חיצוניים

• אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית
• משולש ישר-זווית, באתר MathWorld (באנגלית)