שדה (מבנה אלגברי)

שדה הוא אחד המבנים האלגברים היסודיים המשמשים באלגברה מופשטת. זהו חוג שאיבריו השונים מאפס, מהווים חבורה אבלית תחת כפל. משום כך, ניתן לבצע את ארבע פעולות החשבון המוכרות. הדוגמאות המוכרות ביותר של שדות הם שדה המספרים הרציונליים, שדה המספרים הממשיים ושדה המספרים המרוכבים. בנוסף להם קיימים גם שדות סופיים (להם תפקיד חשוב בקומבינטוריקה, תורת הקודים והצפנה), שדות מספרים, שדות מספרים p-אדיים, ועוד.

היסטוריה

את ההגדרה הכללית של המושג הציע היינריך מרטין ובר ב-1893, בעקבות ריכרד דדקינד שב-1877 קרא "שדה" לקבוצה של מספרים (מרוכבים) הסגורה לארבע הפעולות. ברעיון הבסיסי של הרחבת שדות (נוצרת סופית) השתמש גלואה כבר ב-1831.

הגדרה

שדה $F$ זהו מבנה אלגברי הכולל לפחות שני איברים, 0 ו-1 בעל שתי פעולות בינאריות, המסומנות ב-"$+$" ו-"$\cdot$" (חיבור וכפל) המקיים לכל $a,b,c$ ב- $\ F$:

• $a+b=b+a$ (קומוטטיביות, חוק החילוף)
• $(a+b)+c=a+(b+c)$ (אסוציאטיביות, חוק הקיבוץ)
• $a+0=a$ (0 הוא איבר נייטרלי)
• לכל a קיים b כך ש-$a+b=0$ (לכל איבר קיים נגדי)
• $a\cdot b=b\cdot a$
• $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
• $a\cdot 1=a$
• לכל a שונה מ-0 קיים b כך ש-$a\cdot b=1$ (קיום הופכי)
• $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ (דיסטריבוטיביות, חוק הפילוג)

מאקסיומות אלה נובעות כמה תכונות בסיסיות, כדוגמת יחידות של האיברים הנייטרליים (כלומר, התכונה '$\ a+x=a$ לכל a' מייחדת את איבר האפס, וכן לאיבר היחידה), יחידות הנגדי וההפכי והעובדה שמכפלת כל איבר ב-0 שווה ל-0.

דוגמאות

לצד החבורה, השדה הוא מן המבנים האלגבריים המרכזיים במתמטיקה. הסיבה לכך היא העושר בדוגמאות, המופיעות בכל תחומי המתמטיקה: ישנם שדות של מספרים כגון שדה המספרים הרציונליים ושדה המספרים הממשיים; שדות אלגבריים הם המצע השכיח לדיון בתורת המספרים האלגברית; לשדות סופיים יש חשיבות מכרעת בכל תחומי הקומבינטוריקה; שדות של פונקציות מופיעים בגאומטריה אלגברית ובאנליזה.

באלגברה שדות תופסים מקום מיוחד. הם קשורים קשר הדוק לפולינומים והשורשים שלהם (וזו הסיבה המקורית לפיתוחה של תורת גלואה). אלגברה ליניארית עוסקת בהרחבה במרחב וקטורי מעל שדה. בתורת החוגים שדות מופיעים באופן טבעי, משום שחוג פשוט קומוטטיבי הוא שדה; כל שדה הוא תחום שלמות. יתרה מזו, המרכז של כל חוג פשוט הוא שדה.

השדות המופיעים באנליזה מאופיינים בתכונות נוספות, כגון סדר ושלמות. הדוגמאות היסודיות בתחום זה הן שדה המספרים הממשיים ושדה המספרים המרוכבים.

ישנם כמה שדות שזכו לסימון מיוחד:

• $\mathbb {Q}$ - שדה המספרים הרציונליים.
• $\mathbb {R}$ - שדה המספרים הממשיים.
• $\mathbb {C}$ - שדה המספרים המרוכבים.
• $\mathbb {F} _{q}$ - השדה הסופי מסדר $\ q$ (משתמשים גם בסימון $\ GF(q)$, קיצור ל- Galois Field, על-שם אווריסט גלואה).
• $\mathbb {Q} _{p}$ - שדה המספרים ה-p-אדיים המתאים למספר הראשוני p.

תת-שדות

תת-קבוצה של שדה F נקראת תת שדה אם היא שדה בזכות עצמה, כאשר מצמצמים אליה את פעולות החיבור והכפל. במלים אחרות, קבוצה כזו צריכה להכיל את אברי האפס והיחידה של F, ולהיות סגורה לחיבור, לכפל וגם לפעולות של לקיחת הנגדי או ההפכי.

אם P הוא תת-שדה של F, אז F הוא מרחב וקטורי מעל P, ולכן יש לו ממד. כאשר הממד הזה סופי, F מוכרח להיות אלגברי מעל P. במקרה זה, כדי שתת-קבוצה F המכילה את P וסגורה לחיבור וחיסור תהיה תת-שדה, מספיק שהיא סגורה לכפל.

לכל שדה יש תת-שדה ראשוני, שהוא השדה הקטן ביותר המכיל את איבר היחידה. השדה הזה יכול להיות שדה סופי בעל גודל ראשוני, או להכיל את כל המספרים השלמים, שאז הוא בהכרח מכיל את הרציונליים. במקרה הראשון המאפיין של השדה הוא גודל השדה הראשוני, ובשני אומרים שהמאפיין הוא אפס.

ראו גם

• הרחבת שדות
• תורת גלואה

קישורים חיצוניים

• שדה (מבנה אלגברי), באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• שדה, באתר MathWorld (באנגלית)