העתקה ליניארית

באלגברה ליניארית, העתקה ליניארית או טרנספורמציה ליניארית, היא העתקה אדיטיבית והומוגנית בין שני מרחבים וקטוריים (מעל אותו שדה). במלים אחרות, זוהי פונקציה ממרחב וקטורי למרחב וקטורי, השומרת על החיבור והכפל בסקלר. מכיוון שהעתקה ליניארית שומרת על כל הפעולות, היא מהווה מורפיזם בקטגוריה של המרחבים מעל השדה.

העתקה בין מרחבים מממד סופי אפשר לתאר באמצעות מטריצה; כל מטריצה מתארת באופן חד-משמעי העתקה ליניארית, וכל העתקה ליניארית ניתנת לייצוג ככפל של מטריצה בווקטור במרחב (באופן פורמלי: מרחב ההעתקות ומרחב המטריצות איזומורפיים). תכונה שימושית זאת מאפשרת להסתכל על מטריצות כפונקציות בין מרחבים וקטורים, להסתכל על העתקות ליניארית כמטריצות ולהקיש לגבי תכונות משותפות.

להעתקה ליניארית ממרחב $\ V$ אל עצמו, כלומר $\ T:V\rightarrow V$, נהוג לעיתים לקרוא אופרטור ליניארי, אך המושג אופרטור ליניארי משמש גם לתיאור העתקה ליניארית כלשהי.

הגדרה

העתקה $\ T$ ממרחב וקטורי $\ V$ אל מרחב וקטורי $\ W$ (מסמנים $\ T:V\rightarrow W$) תקרא העתקה ליניארית או טרנספורמציה ליניארית, אם מתקיימים התנאים הבאים:

1. $\ T$ משמרת חיבור (אדיטיביות): לכל שני וקטורים $\ v,u$ השייכים למרחב $\ V$ מתקיים: $\ T(v+u)=T(v)+T(u)$
2. $\ T$ משמרת כפל בסקלר (הומוגניות): לכל וקטור $\ v$ השייך למרחב $\ V$, ולכל סקלר $\ \alpha$ השייך לשדה מתקיים: $\ T(\alpha v)=\alpha T(v)$

משמעות התנאים הללו היא שאין זה משנה אם מפעילים את ההעתקה $\ T$ (אשר מניבה את תמונת הפונקציה) על כל וקטור בנפרד ואחר כך מחברים את התמונות, או שמחברים את הווקטורים $\ v,u$ ולאחר מכן מפעילים על הסכום את העתקה - התוצאה תהיה זהה, דהיינו נשמר החיבור (אדיטיביות). באותו אופן, אין זה משנה אם מפעילים את ההעתקה $\ T$ על התוצאה של כפל הווקטור $\ v$ בסקלר $\ \alpha$, או שמפעילים את ההעתקה על הווקטור $\ v$ ולאחר מכן כופלים את התמונה בסקלר $\ \alpha$ - הכפל נשמר (הומוגניות). שתי תכונות אלו מרכיבות את תכונת הליניאריות.

מההגדרה נובעת התכונה הכללית:

$$\ T\left(\sum _{k=1}^{n}{\lambda _{k}v_{k}}\right)=\sum _{k=1}^{n}{\lambda _{k}{T(v_{k})}}$$

מסקנה נוספת אשר נובעת מההגדרה, היא שהגרעין של העתקה ליניארית לעולם אינו הקבוצה הריקה:

$$\ T({\vec {0}})=T(0\cdot v)=0\cdot T(v)={\vec {0}}$$

דוגמאות

• אם $\ A$ היא מטריצה מסדר $\ m\times n$, אז $\ A$ מגדירה העתקה ליניארית מ-$\mathbb {R} ^{n}$ ל-$\mathbb {R} ^{m}$ כאשר היא פועלת על וקטורי עמודה ב $\mathbb {R} ^{n}$ על ידי כפל מטריצות מימין. זוהי דוגמה חשובה ושימושית ביותר, כיוון שניתן לייצג כל העתקה ליניארית בין מרחבים מממד סופי בדרך זו.
• טרנספורמציית האפס (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את איבר האפס בטווח) וטרנספורמציית הזהות (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את עצמו) הן טרנספורמציות ליניאריות.
• טרנספורמציות סיבוב ושיקוף הן טרנספורמציות ליניאריות. לדוגמה, ב-$\mathbb {R} ^{2}$, הטרנספורמציה המשקפת כל וקטור יחסית לציר ה $\,x$ היא טרנספורמצייה ליניארית.
• גזירה היא העתקה ליניארית ממרחב הפונקציות הגזירות למרחב הפונקציות (מרחבים מממד אינסופי).

סוגי העתקות ליניאריות

יהיו $\ V$ ו-$\ W$ מרחבים וקטורים מעל שדה כלשהו $\ F$, ו-$\ T$ העתקה ליניארית מ-$\ V$ ל-$\ W$.

נאמר ש-$\ T$היא מונומורפיזם אם $\ T$ חח"ע (חד חד ערכית).

נאמר ש-$\ T$היא אפימורפיזם אם $\ T$ על.

נאמר ש-$\ T$היא איזומורפיזם אם $\ T$ היא חח"ע ועל.

אם מתקיים שוויון בין ממדי המרחבים $\ V$ ו-$\ W$, אזי 3 התכונות הללו שקולות זו לזו. אומרים כי המרחב הווקטורי V הוא הופפיאני וקו-הופפיאני^{[דרושה הבהרה]}.

מרחב ההעתקות הליניאריות

אוסף כל ההעתקות הליניאריות מ-$\mathbb {R} ^{n}$ ל-$\mathbb {R} ^{m}$ מהווה בעצמו מרחב וקטורי מממד $\ m\cdot n$. על מנת שמשפט זה יהיה מוגדר כהלכה, עלינו להגדיר חיבור של העתקות ליניאריות וכפל בסקלר. את זאת נעשה בדרך הטריוויאלית. אם $\ T_{1},T_{2}$ הן העתקות ליניאריות מ $\mathbb {R} ^{n}$ ל $\mathbb {R} ^{m}$, ו $\ \alpha$ הוא אבר בשדה אז נגדיר חיבור בין העתקות וכפל של העתקה בסקלר כך:

• $\ (T_{1}+T_{2})(v)=T_{1}(v)+T_{2}(v)$
• $(\alpha T_{1})(v)=\alpha \cdot T_{1}(v)$

גרעין ותמונה של העתקה ליניארית

תהי טרנספורמציה ליניארית $\ T:V\rightarrow W$.

הגרעין של $\ T$, המסומן $\ \ker(T)$ (מהמילה Kernel - גרעין), הוא קבוצה המכילה את כל הווקטורים ב$\ V$ שהטרנספורמציה מעבירה לווקטור ה-$\ 0$ של $\ W$. כלומר: ${\textstyle \ \ker(T)=\{v\in V|T(v)=0\}}$ משימוש בתכונות הטרנספורמציה הליניארית קל לראות כי הגרעין הוא מרחב וקטורי חלקי (תת-מרחב) ל-$\ V$ - משמע, הוא סגור לחיבור וכפל בסקלר.

התמונה של $\ T$, המסומנת $\ \operatorname {Im} (T)$ (מהמילה Image - תמונה) היא קבוצה המכילה את כל איברי $\ W$ שקיים להם מקור ב-$\ V$, כלומר:

$$\ \operatorname {Im} (T)=\{w\in W|w=T(v),v\in V\}$$

גם התמונה של טרנספורמציה ליניארית סגורה לחיבור וכפל בסקלר, ולכן מהווה מרחב וקטורי, החלקי ל-$\ W$.

תכונה חשובה המתקיימת עבור העתקות היא משפט הממד עבור העתקות במרחב מממד סופי:

משפט הממד: לכל מרחב $\ V$ מממד סופי ולכל טרנספורמציה ליניארית $\ T:V\rightarrow W$ מתקיים:

$\ \dim(\operatorname {Im} (T))+\dim(\ker(T))=\dim(V)$.

נשים לב כי בנוסחה אין תלות כלל בממד של הטווח $\ W$, אלא רק בממד של התחום $\ V$, אך מן המשפט נובע שיש קשר בין ממד הגרעין וממד התמונה, לממד התחום וממד הטווח:
$\ \dim(\operatorname {Im} (T))\leq \dim(W)$ ולכן $\dim(ker(T))\geq \dim(V)-\dim(W)$

הוכחה: יהיו $\{\ v_{1},...,\ v_{n}\}$ הבסיס של $\ \ker(T)$ ויהיו $\{\ u_{1},...,\ u_{m}\}$ וקטורים כך ש- $\{\ T(u_{1}),...,\ T(u_{m})\}$ מהווים בסיס ל $\ \operatorname {Im} (T)$

צ"ל: $\{\ v_{1},...,\ v_{n},\ u_{1},...,\ u_{m}\}$ מהווה בסיס ל-V.

נראה כי הקבוצה בת"ל (בלתי תלויה ליניארית): יהיו $\ a_{1},...,\ a_{n},\ b_{1},...,\ b_{m}$ סקלרים כך ש- $\sum _{i=1}^{n}{a_{i}v_{i}}+\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}}=0_{V}$

לכן בהכרח $0_{W}=\ T(0_{V})=\ T(\sum _{i=1}^{n}{a_{i}v_{i}}+\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}})=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}\ T(v_{i})}+\sum _{j=1}^{m}{b_{j}\ T(u_{j})}=0+\sum _{j=1}^{m}{b_{j}\ T(u_{j})}=\sum _{j=1}^{m}{b_{j}\ T(u_{j})}$

לכן, כיוון ש- $\{\ T(u_{1}),...,\ T(u_{m})\}$ בת"ל, לכל $\ j$ מתקיים $\ b_{j}=0$

נציב ב-$\sum _{i=1}^{n}{a_{i}v_{i}}+\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}}=0_{V}$ ונקבל כי $0_{V}=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}v_{i}}+\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}}=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}v_{i}}$

וכיוון ש- $\{\ v_{1},...,\ v_{n}\}$ בת"ל נקבל כי לכל $\ i$ מתקיים כי $\ a_{i}=0$

כלומר, רק עבור הסקלרים הטריביאליים הקומבינציה של הקבוצה $\{\ v_{1},...,\ v_{n},\ u_{1},...,\ u_{m}\}$ שווה $\ 0_{V}$ ולכן הקבוצה בת”ל מעל F.

נראה כי הקבוצה פורשת: יהי ${\vec {v}}\in \ V$, מתקיים $\ T({\vec {v}})\in \ \operatorname {Im} (T)$ לכן, קיימים סקלרים $\ b_{1},...,\ b_{m}$ כך ש- $\sum _{j=1}^{m}{b_{j}T(u_{j})}=\ T({\vec {v}})$.

נעביר אגפים ונקבל כי $0_{W}=\ T({\vec {v}})-\sum _{j=1}^{m}{b_{j}T(u_{j})}=\ T({\vec {v}}-\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}})$ ולכן ${\vec {v}}-\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}}\in \ \ker(T)$

לכן, קיימים סקלרים $\ a_{1},...,\ a_{n}$ כך ש- ${\vec {v}}-\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}}=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}v_{i}}$ ולכן ${\vec {v}}=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}v_{i}}+\sum _{j=1}^{m}{b_{j}u_{j}}$

ולכן הקבוצה $\{\ v_{1},...,\ v_{n},\ u_{1},...,\ u_{m}\}$ פורשת את V.

לכן הקבוצה $\{\ v_{1},...,\ v_{n},\ u_{1},...,\ u_{m}\}$ מהווה בסיס עבור V ולכן מתקיים $\ \dim(\operatorname {Im} (T))+\dim(\ker(T))=\ n+\ m=\dim(V)$.

מטריצה של העתקה ליניארית

יהיו $\ V$ ו-$\ W$ מרחבים וקטורים מעל שדה כלשהו $\ F$, ו-$\ T$ העתקה ליניארית מ-$\ V$ ל-$\ W$. יהי $B=\{v_{1},...,v_{n}\}$בסיס של $\ V$ו $C=\{w_{1},...,w_{m}\}$בסיס של $\ W$.

אזי, נגדיר את המטריצה של $\ T$ביחס לבסיסים $B$,$C$ כך:

סימון + הגדרה: ${[T]_{B}^{C}}_{m\times n}$

הגדרה: ${[T]_{C}^{B}}_{ij}:=([T(v_{j})]_{C})_{i}$

כלומר: אם A המטריצה של $\ T$ביחס לבסיסים $B$, $C$אזי: לכל וקטור $v_{j}$ בB מתקיים: $T(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}A_{ij}*w_{i}$

תכונות

(נניח את כל מה שכתוב למעלה בתכונות)

• נסמן ב $B'$בסיס נוסף של $\ V$וב $C'$בסיס נוסף של $\ W$. נסמן ב $M_{B'}^{B}$את מטריצת המעבר מבסיס $B$לבסיס $B'$וב$M_{C'}^{C}$את מטריצת המעבר מבסיס $C$לבסיס $C'$. בנוסף נסמן ב$A$ את המטריצה של $\ T$ביחס לבסיסים $B$, $C$ וב$A'$את המטריצה של $\ T$ביחס לבסיסים $B'$, $C'$. נקבל: $A'=({M_{B'}^{B}})^{-1}A({M_{C'}^{C}})$
• יהי $U$מ"ו(מרחב וקטורי) נוסף מעל $\ F$עם בסיס $D$ותהי $S:W\rightarrow U$העתקה ליניארית נוספת. נסמן ב$A$ את המטריצה של $\ T$ביחס לבסיסים $B$, $C$וב$A'$את המטריצה של $S$ ביחס לבסיסים $C$, $D$ אזי: $[{T\circ S}]_{D}^{B}=A'A$.

ההעתקה הדואלית

יהיו $\ V$ ו-$\ W$ מרחבים וקטורים מעל שדה כלשהו $\ F$, ו-$\ T$ העתקה ליניארית מ-$\ V$ ל-$\ W$.

אזי נגדיר את $T^{*}$ (ההעתקה הדואלית) להיות:

$T^{*}:W^{*}\rightarrow V^{*}$

$(T^{*}(\varphi ))(v):=\varphi (T(v))$

תכונות

(נניח את כל מה שכתוב למעלה בתכונות)

• $T^{*}$ היא העתקה ליניארית ומוגדרת היטב ($\operatorname {Im} (T^{*})=V^{*}$).
• $\ker(T^{*})=(ImT)^{0}$
• $\operatorname {Im} (T^{*})=(\ker(T))^{0}$
• $\ T$ חח"ע(חד חד ערכית) אמ"מ (אם ורק אם) $T^{*}$ על
• $T^{*}$ חח"ע(חד חד ערכית) אמ"מ (אם ורק אם) $\ T$ על
• יהי $B$ בסיס ל-$\ V$ו-$C$ בסיס ל-$\ W$. נסמן ב-$B^{*}$ וב-$C^{*}$ בסיסים דואלים ל-$B$ ו-$C$ בהתאמה. אזי: ${[T^{*}]_{B^{*}}^{C^{*}}}=({[T^{*}]_{C}^{B}})^{t}$
• נסמן ב-$C_{V}$ וב-$C_{W}$ את האיזומורפיזמים הקנוניים של $\ V$ ו-$\ W$ בהתאמה. נגדיר: $T^{**}:=(T^{*})^{*}$. נקבל: $T^{**}\circ C_{V}=C_{W}\circ T$

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא העתקה ליניארית בוויקישיתוף

• העתקה ליניארית, באתר MathWorld (באנגלית)