לדלג לתוכן

הבדלים בין גרסאות בדף "חוק סטוקס"

הוסרו 18 בתים ,  לפני שנתיים
אין תקציר עריכה
מ (הוספת קישור לאזימוט)
<math display="block">F_{drag} =\ -6\pi \eta R v </math>
 
חוק סטוקס תקף בגבול של [[מספר ריינולדס]] קטן (<math> Re \ll1 </math>) בו הצמיגות דומיננטית יחסית ל[[אינרציה]]. במקרה זה ניתן לקבל את חוק סטוקס על ידי פתרון של [[משוואות נאוויה-סטוקס|משוואת נאווייה-סטוקס]] בהזנחת אברי האינרציה.
 
היחס הישר בין כוח הגרר ובין המהירות מתקיים גם לגופים בעלי צורה לא כדורית, אולם עבורם לא ניתן לחשב את מקדם הפרופורציה במדויק.
 
== גזירת חוק סטוקס ==
במאמר מדעי חלוצי וחשוב ביותר משנת 1851, סטוקס גזר את הביטוי לגרר הפועל על כדור הנע דרך זורם צמיג בגבול של מספרי ריינולדס נמוכים. תוצאה זו היא אחת התוצאות הקלאסיות והחשובות בהידרודינמיקה עם מספרי ריינולדס נמוכים, והיא אחת התוצאות המשמעותיות הראשונות בתחום; בפיתוח החוק סטוקס עשה שימוש נרחב בכלים של ה[[אנליזה וקטורית|אנליזה הווקטורית]], ענף מתמטי שסטוקס היה ממייסדיו. להלן מובא הפיתוח של סטוקס.
 
'''פונקציית הזרם'''
 
בגלל הסימטריה הגלילית של הבעיה יחסית לכיוון מהירות התנועה של הכדור, נוח יותר להציג את הבעיה במערכת [[קואורדינטות כדוריות]] שראשיתה במרכז הכדור. במערכת צירים כזאת למהירות הזרימה הצמיגה והאי-דחיסה מסביב לכדור לא יהיה רכיב מהירות [[אזימוט]]לי אלא רק רכיב מהירות רדיאלי ורכיב מהירות משיקי. העובדה שה[[דיברגנץ]] של שדה הזרימה מסביב לכדור הוא אפס מאפשרת להציג את פונקציית הזרם ([[פונקציית הזרם של סטוקס]]) הבאה:
 
<math>
\begin{align}
u_r &= + \frac{1}{r^2\, \sin(\theta)}\, \frac{\partial \Psi}{\partial \theta},
\\
u_\theta &= - \frac{1}{r\, \sin(\theta)}\, \frac{\partial \Psi}{\partial r}.
\end{align}
</math>.
 
<math>\nabla P = \mu \nabla^2 u</math>.
 
[[Imageקובץ:Stokes sphere.svg|thumbממוזער|left|210px|זרימה זוחלת מסביב לספירה.]]
כיוון ש[[ערבוליות]] הזרימה בנקודה שווה לגרדיאנט המהירות המקומי, הלפלסיאן של שדה המהירות ניתן לחישוב על ידי לקיחת ה[[רוטור (מתמטיקה)|רוטור]] של שדה המהירות פעמיים, כלומר לקיחת הרוטור של הערבוליות. מהצבת הביטויים ל- <math>u_{\theta}</math> ו- <math>u_{r}</math> מקבלים:
 
<math>\boldsymbol{\omega} =
\begin{pmatrix}
0 \\[1ex]
0 \\[1ex]
\displaystyle -\frac{1}{r\sin\theta} \left(\frac{\partial^2\Psi}{\partial r^2} + \frac{\sin\theta}{r^2}{\partial \over \partial \theta}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial\Psi}{\partial \theta}\right)\right)
\end{pmatrix}.
</math>
 
 
את הפעולה <math>\left(\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{\sin\theta}{r^2}{\partial \over \partial \theta}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\right)
'''פתרון המשוואה הדיפרנציאלית'''
 
ננחש פתרון מהצורה <math>\Psi(r,\theta) = sin^2\theta f(r)</math> (הניחוש נובע מהסתכלות על המבנה של הפתרון באינסוף). האופרטור E כאשר הוא פועל על פונקציה מהצורה הזאת שקול (ניתן להראות זאת) לאופרטור:
<math>sin^2\theta (\frac{\partial^2}{\partial r^2} - \frac {2} {r^2}) f(r) = sin^2 \theta g(r)</math>, כלומר הצורה הפונקציונלית נשמרת, ולכן הפעלת האופרטור פעמיים נותנת, לאחר גזירה ארוכה וכפל פי <math>r^4</math>:
 
<math>f(r) = \frac {A}{r} + Br + Cr^2 + Dr^4 </math>.
 
תנאי השפה של הבעיה מאפשרים לקבוע את ערכי המקדמים A,B,C,D. ברור שבאינסוף הזרימה לא מושפעת מהכדור ולכן מהירותה היא <math>U_0</math>, או לחלופין
<math>u_r(\infty,\theta) = U_0cos\theta</math>. כמו כן על שפת הכדור מתקיים: <math>u_r(a,\theta) = 0, u_{\theta}(a,\theta) = 0</math>.
 
הצבה בתנאי השפה נותנת את פונקציית הזרימה: <math>\Psi(r,\theta) = \frac {{U_0}}{{4}}(2r^2 + \frac {{a^3}} {{r}} - 3ar)sin^2\theta </math>, ולפיכך הפתרון לשדה המהירות מסביב לכדור הוא:
 
<math>u_{{\theta}}(r,\theta) = U_0(-1 + \frac{3a}{4r} + \frac{a^3}{4r^3})sin\theta </math>
 
 
'''תחזיות פיזיקליות'''
מאמצי הגזירה הנובעים מכוחות הצמיגות הפועלים על פני הכדור שווים לגרדיאנט המהירות בכל נקודה על הכדור כפול צמיגותו של הזורם. גרדיאנט המהירות המקומי שווה לערבוליות המקומיות. כיוון שכך, ניתן להציב את הביטוי שהתקבל לערבוליות <math>\omega_{\phi} (r,\theta) = -\frac {{3U_0asin\theta}}{{2r^2}}</math> ולקבל:
 
<math>D_t = 2\pi a^2 \int_{-1}^{1} t sin\theta d(\cos\theta) = 2\pi a^2 \int_{-1}^{1} \frac {{3\mu U_0sin\theta}}{{2a}} sin\theta d(\cos\theta) = 3\pi a \mu U_0 \int_{-1}^{1} (1 - cos^2\theta) d(\cos\theta) = 4\pi a \mu U_0</math>.
 
סך כוחות הגרר הפועלים על הכדור שווה לסכום גרר הלחץ וגרר הצמיגות, שנותן: <math>D = 6\pi a \mu U_0</math>. זוהי התוצאה המפורסמת של סטוקס. שים לב, ש-<math>2/3</math> מהגרר מקורו במאמצי הגזירה וה-<math>1/3</math> האחר מקורו בגרר לחץ.
==תנועה בהשפעת גרביטציה==
כאשר הגוף נע בהשפעת גרביטציה, יפעל עליו בנוסף לכוח הגרר גם [[כבידה|כוח הגרביטציה]] ו[[כוח העילוי]]. [[החוק השני של ניוטון|משוואת התנועה]] שלו תהיה:
<math display="block"> m \frac{dv}{dt} = mg - \rho_f V g - bv </math>
כאשר:
* <math>\ m </math> [[מסה|מסת]] הגוף ו- <math>\ m g </math> כוח הגרביטציה הפועל עליו.
==זרימה של יונים בתמיסה==
כאשר יון בעל מטען <math> ze </math> נע בתמיסה בהשפעת [[שדה חשמלי]] <math> E </math>, יפעל עליו בנוסף לכוח הגרר גם כוח חשמלי <math>\ F_e = zeE </math>. היון יאיץ עד שהכוח השקול הפועל עליו <math> F_{drag} + F_e </math> יהיה שווה לאפס, ומהירותו במצב זה תהיה:
<math display="block"> v_{drift} = \frac{zeE}{6\pi \eta R} </math>
מהירות זו נקראת [[מהירות הסחיפה]] של היון, ועבור יון מסוים היא נמצאת ביחס ישר לעוצמת השדה החשמלי וביחס הפוך לצמיגות הממס.
[[קטגוריה:הידרודינמיקה]]