משוואה ממעלה שנייה – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הוספת תבנית:MathWorld בקישורים חיצוניים (תג) (דיון)
שורה 6: שורה 6:
הפתרונות למשוואה הריבועית <math>ax^2+bx+c=0</math> הם <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>.
הפתרונות למשוואה הריבועית <math>ax^2+bx+c=0</math> הם <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>.


את הפתרון מקבלים על ידי '''[[השלמה לריבוע]]''': כפל ב-<math>\ 4a</math> והוספת ה[[דיסקרימיננטה]] <math> \!\, \Delta=b^2-4ac</math> לשני האגפים, מביא את המשוואה לצורה <math>\!\, (2ax+b)^2=\Delta</math>. לאחר [[הוצאת שורש ריבועי]] מתקבלים הפתרונות <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math>. אם a קטן, אפשר לשם הדיוק הנומרי להשתמש בנוסחה <math>x_{1,2}=\frac{-2c}{b\pm\sqrt{\Delta}}</math>, המתקבלת מהנוסחה המקורית על ידי הכפלת המונה והמכנה בצמוד. ב[[חישוב נומרי]] אפשר לפתור את המשוואה באמצעות [[שיטת מולר]] {{אנ|Muller's method}}.
את הפתרון מקבלים על ידי [[השלמה לריבוע]]: כפל ב-<math>\ 4a</math> והוספת ה[[דיסקרימיננטה]] <math> \!\, \Delta=b^2-4ac</math> לשני האגפים, מביא את המשוואה לצורה <math>\!\, (2ax+b)^2=\Delta</math>. לאחר [[הוצאת שורש ריבועי]] מתקבלים הפתרונות <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math>. אם a קטן, אפשר לשם הדיוק הנומרי להשתמש בנוסחה <math>x_{1,2}=\frac{-2c}{b\pm\sqrt{\Delta}}</math>, המתקבלת מהנוסחה המקורית על ידי הכפלת המונה והמכנה בצמוד. ב[[חישוב נומרי]] אפשר לפתור את המשוואה באמצעות [[שיטת מולר]] {{אנ|Muller's method}}.


כאשר מקדמי המשוואה הם [[מספר ממשי|ממשיים]], מספר הפתרונות הממשיים תלוי בדיסקרימיננטה: אם היא גדולה מאפס, יש שני פתרונות. אם היא שווה לאפס, יש פתרון יחיד (אבל [[סדר של קוטב|כפול]]), ואם היא קטנה מאפס, אין פתרון ממשי, אבל יש פתרונות [[שדה המספרים המרוכבים|מרוכבים]].
כאשר מקדמי המשוואה הם [[מספר ממשי|ממשיים]], מספר הפתרונות הממשיים תלוי בדיסקרימיננטה: אם היא גדולה מאפס, יש שני פתרונות. אם היא שווה לאפס, יש פתרון יחיד (אבל [[סדר של קוטב|כפול]]), ואם היא קטנה מאפס, אין פתרון ממשי, אבל יש פתרונות [[שדה המספרים המרוכבים|מרוכבים]].

גרסה מ־22:06, 31 בינואר 2019

משוואה ממעלה שנייה או משוואה ריבועית היא משוואה מהצורה כאשר הם מקדמים בשדה נתון (למשל, המספרים הרציונליים). מבחינה גאומטרית, מציאת הפתרון שקולה למציאת חיתוכי הפרבולה עם הישר .

לרקע היסטורי ראו היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות.

נוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית

הפתרונות למשוואה הריבועית הם .

את הפתרון מקבלים על ידי השלמה לריבוע: כפל ב- והוספת הדיסקרימיננטה לשני האגפים, מביא את המשוואה לצורה . לאחר הוצאת שורש ריבועי מתקבלים הפתרונות . אם a קטן, אפשר לשם הדיוק הנומרי להשתמש בנוסחה , המתקבלת מהנוסחה המקורית על ידי הכפלת המונה והמכנה בצמוד. בחישוב נומרי אפשר לפתור את המשוואה באמצעות שיטת מולר (אנ').

כאשר מקדמי המשוואה הם ממשיים, מספר הפתרונות הממשיים תלוי בדיסקרימיננטה: אם היא גדולה מאפס, יש שני פתרונות. אם היא שווה לאפס, יש פתרון יחיד (אבל כפול), ואם היא קטנה מאפס, אין פתרון ממשי, אבל יש פתרונות מרוכבים.

משפט ויאטה

מקרה פרטי של משפט ויאטה, הקרוי על שמו של המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט, מציג קשר בין שני שורשיה של משוואה ריבועית. כאשר נתונה המשוואה הריבועית הכללית

ושורשיה הם , הרי מתקיים הקשר הבא:


קל להוכיח קשר זה על בסיס נוסחת השורשים המופיעה לעיל.

משפט ויאטה נותן טכניקה נוספת לפתרון משוואה ריבועית, ובמשוואות פשוטות (כאלה שמקדמיהן הן מספרים שלמים קטנים) הוא מאפשר להגיע אל הפתרון בצורה מיידית.

בנוסחאות אלה אפשר להשתמש גם כדי לבדוק מתי שורשי המשוואה שוני סימן, שווי סימן, חיוביים ושליליים.

התנאים שוני סימן שווי סימן שניהם חיוביים שניהם שליליים
[1]




קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא משוואה ממעלה שנייה בוויקישיתוף

הערות שוליים

  1. ^ אין צורך בתנאי כי הוא נובע מהתנאי