מחומש – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד
שורה 1: שורה 1:
{{פירוש נוסף|נוכחי=מצולע בעל חמש צלעות}}
{{פירוש נוסף מיכאל |נוכחי=מצולע בעל חמש צלעות}}
[[קובץ:regular pentagon.png|ממוזער|שמאל|100px|מחומש משוכלל]]
[[קובץ:regular pentagon.png|ממוזער|שמאל|100px|מחומש משוכלל]]
'''מחומש''' (בלועזית, מ[[יוונית]]: '''פֶּנְטַגוֹן''') הוא [[מצולע]] בעל חמש [[צלע (גאומטריה)|צלעות]]. סכום [[זווית|זוויותיו]] הפנימיות של מחומש הוא 540 [[מעלה (זווית)|מעלות]], ויש בו 5 [[אלכסון|אלכסונים]].
'''מחומש''' (בלועזית, מ[[יוונית]]: '''פֶּנְטַגוֹן''') הוא [[מצולע]] בעל חמש [[צלע (גאומטריה)|צלעות]]. סכום [[זווית|זוויותיו]] הפנימיות של מחומש הוא 540 [[מעלה (זווית)|מעלות]], ויש בו 5 [[אלכסון|אלכסונים]].

גרסה מ־13:29, 24 במרץ 2019

תבנית:פירוש נוסף מיכאל

מחומש משוכלל

מחומש (בלועזית, מיוונית: פֶּנְטַגוֹן) הוא מצולע בעל חמש צלעות. סכום זוויותיו הפנימיות של מחומש הוא 540 מעלות, ויש בו 5 אלכסונים.

מחומש משוכלל

מחומש משוכלל הוא מחומש שכל צלעותיו שוות זו לזו וכל הזוויות שוות זו לזו. גודל כל אחת מהזוויות הוא 108°. מספר זה אינו מחלק את 360, ולכן לא ניתן לרצף את המישור במחומשים משוכללים.

שטח מחומש משוכלל שאורך צלעו a מחושב על פי הנוסחה:

פנטגרם בתוך מחומש

כל אלכסוני המחומש שווים באורכם זה לזה, וכל אחד מקביל לצלע איתה הוא לא חולק קודקוד משותף. אלכסון עם שתי צלעות יוצרים משולש זהב רחב (משולש שווה-שוקיים שהיחס בין הבסיס לשוק הוא יחס הזהב), ואילו שני אלכסונים עם צלע יוצרים משולש זהב צר (שהיחס בין שוק לבסיס הוא יחס הזהב). כל האלכסונים יוצרים פנטגרם.

בנייה בסרגל ומחוגה

תהליך בנייה
הדמיית בניית מחומש משוכלל

ניתן לבנות מחומש משוכלל על ידי שימוש במחוגה ובסרגל בלבד, על ידי חסימתו במעגל. דרך זו תוארה על ידי אוקלידס בספרו יסודות (ספר רביעי, טענה 11) לפני כאלפיים וארבע מאות שנה. הבניה מבוססת על כך ש- ו- .

אחת הדרכים לכך היא:

  1. משרטטים מעגל, מרכזו יהיה O (המעגל הירוק שבסרטוט משמאל). נניח שרדיוסו של מעגל זה - יחידה אחת.
  2. בוחרים על ההיקף נקודה, A, שתהווה אחד מקודקודי המחומש. מעבירים ישר מ-A דרך המרכז, O.
  3. בונים אנך לקוטר AO, דרך מרכז המעגל, ומסמנים את אחד החיתוכים שלו עם המעגל כ-B.
  4. מסמנים את הנקודה C במרכז הקטע OB. (המרחק ).
  5. מעבירים מעגל שמרכזו הנקודה C דרך הנקודה A, מסמנים את נקודת החיתוך בין המעגל לקו OB כ-D. (המרחק , וזהו אורך צלע המחומש החסום במעגל המקורי).
  6. מעבירים מעגל שמרכזו A דרך הנקודה D; מסמנים את חיתוכיו עם המעגל המקורי (הירוק) באותיות E ו-F.
  7. מעבירים מעגלים שמרכזם E ו-F דרך הנקודה A, מסמנים את חיתוכיהם עם המעגל המקורי כ-G ו-H בהתאמה.
  8. הנקודות AEFGH מהוות את קודקודי המחומש המשוכלל.

דרך אחרת מתוארת באנימציה שמשמאל.

תוצאות ידועות על מחומשים

למחומש יש תכונה מעניינת, והיא שניתן לחשב את שטחו ללא טריאנגולציה (ללא חלוקה של שטחו למשולשים), אלא רק על ידי "הליכה מסביבו" וחישוב שטחיהם של משולשים קודקודיים. המתמטיקאי הידוע קרל פרידריך גאוס הוא זה שגילה[1] תכונה זו, ומצא ביטוי המתאר את שטחו של מחומש משטחיהם של משולשים קודקודיים (משולש קודקודי הוא משולש שקודקודיו הם שלושה קודקודים עוקבים של המחומש): אם נסמן ב- את שטח המשולש שקודקודיו הם אז שטח המחומש מקיים את המשוואה הריבועית , כאשר ו- הם הפונקציות הסימטריות הציקליות ממעלה ראשונה ושנייה במשתנים : .

קישורים חיצוניים

  • מחומש, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

  1. ^ Geometry of pentagons: from Gauss to Robbins [1]