23 הבעיות של הילברט – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
שורה 19: שורה 19:
| style="text-align:center" | [[הבעיה השנייה של הילברט|בעיה 2]]
| style="text-align:center" | [[הבעיה השנייה של הילברט|בעיה 2]]
| להוכיח שמערכת ה[[אקסיומה|אקסיומות]] של ה[[אריתמטיקה]] היא [[עקביות (לוגיקה מתמטית)|עקבית]]
| להוכיח שמערכת ה[[אקסיומה|אקסיומות]] של ה[[אריתמטיקה]] היא [[עקביות (לוגיקה מתמטית)|עקבית]]
| [[משפטי אי-השלמות של גדל|משפט אי-השלמות השני]] של גדל מראה ש{{צבע גופן|ירוק|המשימה בלתי אפשרית}} מתוך האריתמטיקה עצמה; [[גרהרד גנצן]] הוכיח את עקביות האריתמטיקה בהתבסס על מערכת אקסיומות שונה.
| [[משפטי אי-השלמות של גדל|משפט אי-השלמות השני]] של גדל מראה ש{{צבע גופן|ירוק|המשימה בלתי אפשרית}} מתוך האריתמטיקה עצמה; [[גרהרד גנצן]] הוכיח את עקביות האריתמטיקה בהתבסס על מערכת אקסיומות שונה, אך ההוכחה אינה [[פיניטיסטית]] (דהיינו הוכחה שכוללת רק הליכים שמתייחסים למספר סופי של תכונות של נוסחאות, ורק למספר סופי של פעולות עם הנוסחאות {{הערה|ההגדרה מתוך הספר [[משפט גדל (ספר)]] בהוצאת [[הטכניון]] עמוד 28}}) ולכן לא עומדת בקריטריונים של הילברט להוכחה '''מוחלטת''' של עקביות {{הערה|מתוך הספר [[משפט גדל (ספר)]] בהוצאת [[הטכניון]] עמוד 86}}.
|-
|-
| style="background:LightGreen" |
| style="background:LightGreen" |

גרסה מ־16:12, 6 ביוני 2019

דויד הילברט

הבעיות של הילברט הן רשימה של 23 בעיות פתוחות במתמטיקה, שהוצגה על ידי המתמטיקאי דויד הילברט ב-8 באוגוסט 1900 בוועידת פריז של הקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים. כל השאלות שהוצגו היו בלתי-פתורות באותה תקופה, ולרבות מהן הייתה השפעה ניכרת על המתמטיקה של המאה ה-20. בקונגרס הוצגו רק עשר מן השאלות (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 ו-22), והרשימה המלאה התפרסמה רק מאוחר יותר. חלק מן הבעיות המוצגות נפתרו במהלך המאה ה-20.

רשימת הבעיות

להלן כל 23 השאלות שהציג הילברט ומצבן העדכני:

תיאורה מצבה העדכני
בעיה 1 השערת הרצף נפתרה על ידי גדל וכהן שהוכיחו כי היא אינה תלויה באקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות.
בעיה 2 להוכיח שמערכת האקסיומות של האריתמטיקה היא עקבית משפט אי-השלמות השני של גדל מראה שהמשימה בלתי אפשרית מתוך האריתמטיקה עצמה; גרהרד גנצן הוכיח את עקביות האריתמטיקה בהתבסס על מערכת אקסיומות שונה, אך ההוכחה אינה פיניטיסטית (דהיינו הוכחה שכוללת רק הליכים שמתייחסים למספר סופי של תכונות של נוסחאות, ורק למספר סופי של פעולות עם הנוסחאות [1]) ולכן לא עומדת בקריטריונים של הילברט להוכחה מוחלטת של עקביות [2].
בעיה 3 האם אפשר להוכיח שוויון נפחים של שני ארבעונים באמצעות חיתוך מקס דן הראה שהתשובה שלילית, עוד באותה שנה שהוצגה הבעיה (1900).
בעיה 4 למצוא גאומטריות שבהן האקסיומות קרובות לאלו של הגאומטריה האוקלידית, תוך שמירה על אקסיומות החילה, החלשת אקסיומות הסדר, וויתור על אקסיומת המקבילים ניסוחה מעורפל מכדי לקבוע אם נפתרה או לא.
בעיה 5 האם חבורות רציפות הן בהכרח גזירות? נפתרה חלקית, על ידי אנדרו גליסון, בתחילת שנות ה-50.
בעיה 6 ניסוח אקסיומטי של כל החוקים הפיזיקליים פתוחה.
בעיה 7 האם טרנסצנדנטי, כאשר a ≠ 0,1 אלגברי ו-b אלגברי אי-רציונלי? תשובה חיובית: משפט גלפונד-שניידר.
בעיה 8 בעיות בתורת המספרים: הוכחת השערת רימן והשערת גולדבך שתי הבעיות פתוחות.
בעיה 9 הכללת חוק ההדדיות הריבועי לכל שדה מספרים נפתרה חלקית, עבור הרחבות אבליות, על ידי אמיל ארטין.
בעיה 10 למצוא אלגוריתם שייקבע, בהינתן משוואה דיופנטית, האם היא פתירה נפתרה: התשובה שלילית, לא קיים אלגוריתם שכזה.
בעיה 11 פתרון של משוואות ריבועיות במספר משתנים, עם מקדמים אלגבריים נפתרה חלקית, בידי הלמוט הסה.
בעיה 12 הכללת משפט קרונקר-ובר על ההרחבות האבליות של המספרים הרציונליים לשדה מספרים כלשהו. פתוחה.
בעיה 13 פתרון משוואות ממעלה שביעית באמצעות פונקציות של שני משתנים נפתרה על ידי ולדימיר ארנולד.
בעיה 14 האם מערכות שלמות מסוימות של פונקציות הן סופיות? נפתרה על ידי מסיושי נגטה ב-1958.
בעיה 15 ביסוס מסודר של תחשיב שוברט נפתרה (לא ברור אם חלקית או לחלוטין).
בעיה 16 מציאה ופיתוח טופולוגיה של עקומות ומשטחים אלגבריים ממשיים. פתוחה.
בעיה 17 הצגת פונקציה רציונלית חיובית כסכום ריבועים של פונקציות רציונליות נפתרה. לחיוב על ידי אמיל ארטין ב-1927.
בעיה 18 האם יש פאון קמור לא רגולרי שממלא את המרחב?
מהו הסידור הטוב ביותר של כדורים במרחב? (השערת קפלר)
השערת קפלר נפתרה על ידי היילס בשנת 1998 ופורסמה ב-2005.[3]
בעיה 19 האם הפתרונות של לגראנז'יאן הם תמיד אנליטיים? נפתרה על ידי אניו דה ג'יורג'י וכן בנפרד ובמתודולוגיה שונה על ידי ג'ון נאש ב-1957.
בעיה 20 האם לכל הבעיות בחשבון וריאציות עם תנאי שפה מסוימים, יש פתרונות? נפתרה.
בעיה 21 הוכחת קיום של משוואה דיפרנציאלית ליניארית עם חבורת מונודרומיה נתונה נפתרה.
בעיה 22 האחדה של יחסים אנליטיים באמצעות פונקציות אוטומורפיות נפתרה.
בעיה 23 התפתחות נוספת בתחום חשבון הווריאציות ניסוחה מעורפל מכדי לקבוע אם נפתרה או לא.

לפי דבריהם של ג'רמי גריי ודייוויד ראו, אשר פרסמו ספר העוסק בשאלות שהציג הילברט, רוב השאלות שהוצגו על ידי הילברט בשנת 1900 נפתרו. חלקן לא הוגדרו היטב, אבל הושגה התקדמות מספקת על מנת להגדירן כ"פתורות". ראו וגריי מציינים את הבעיה הרביעית כמעורפלת מדי מכדי להחליט אם היא נפתרה או לא.

כמו כן, הם מנו את הבעיה השמונה-עשרה כבעיה פתוחה בזמן הוצאת ספרם בשנת 2000 וזאת מכיוון ש"בעיית סידור התפוזים במרחב", הידועה גם כהשערת קפלר נשארה בלתי-פתורה, אך פתרון שהוצע נמצא בבדיקה; קיים עיכוב בבדיקת הטענה משום שראש צוות הבדיקה הודיע כי בגלל עומס הפרטים בהוכחה אין הוא יכול להכריע לגבי נכונתה. יתר על-כן, נרשמו בעשור האחרון התקדמויות גם בפתרון הבעיה השש-עשרה.

בעיה 8 כוללת שתי שאלות מפורסמות, אשר שתיהן נשארו בלי פתרון. הראשונה שבהן, השערת רימן, היא אחת משבע השאלות של פרס המילניום של קליי, אשר אמורות להוות "רשימת הילברט" חדשה למאה ה-21.

עריכת הרשימה

בזמן הכנת רשימת הבעיות עמדו בפני הילברט עשרים וארבע שאלות רשומות, אך הילברט החליט שלא לצרף אחת מהן לרשימתו הסופית. הבעיה הנוספת עסקה בהוכחת השערה הנוגעת לפשטות ושיטות כלליות. בעיה זו התגלתה על ידי ההיסטוריון רודיגר תיילה (Rüdiger Thiele).

ראו גם

לקריאה נוספת

  • Rowe, David; Gray, Jeremy J. (2000). The Hilbert Challenge. Oxford University Press.

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא 23 הבעיות של הילברט בוויקישיתוף

הערות שוליים

  1. ^ ההגדרה מתוך הספר משפט גדל (ספר) בהוצאת הטכניון עמוד 28
  2. ^ מתוך הספר משפט גדל (ספר) בהוצאת הטכניון עמוד 86
  3. ^ ד"ר טל קוולר, איך לארוז תפוזים, שלב ההוכחה, במדור "חדשות מדע" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 9 ביולי 2017