הרחבת גלואה – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־17:16, 17 באוגוסט 2019

הרחבת גלואה היא הרחבה נורמלית וספרבילית של שדות. הרחבות כאלו הן אבן הפינה של תורת גלואה, לא רק מכיוון שזה גורר מספר תוצאות שונות אלא גם מכיוון שהרחבות גלואה מקיימות את המשפט היסודי של תורת גלואה.

תוצאה של אמיל ארטין מאפשרת לבנות הרחבת גלואה בקלות: עבור שדה L, נסמן ב-G חבורה כלשהי של אוטומורפיזמים של L. עבור K שדה השבת של G, מתקיים ש-L/K הרחבת גלואה.

כל הרחבת שדות ספרבילית אפשר להמשיך להרחבת גלואה, הנקראת סְגור גלואה של ההרחבה המקורית.

הגדרות שקולות

להרחבות גלואה יש מספר הגדרות שקולות:

הרחבה נורמלית וספרבילית
$|\operatorname {Aut} \left(L/K\right)|=\left[L:K\right]$ עבור $\operatorname {Aut} \left(K/L\right)$ חבורת הגלואה.
L שדה הפיצול של פולינום ספרבילי מעל K
K הוא שדה השבת של $\operatorname {Aut} \left(K/L\right)$ , כלומר K היא קבוצת כל האיברים שנשמרים במקומם על ידי כל איברי $\operatorname {Aut} \left(K/L\right)$ .

דוגמאות.

1. כל הרחבה ריבועית ספרבילית היא נורמלית, ולכן גלואה.

2. נסמן ב- $\ \alpha ={\sqrt[{4}]{2}}$ את השורש הרביעי של 2. השדה $\ L=\mathbb {Q} [\alpha ]$ אינו הרחבת גלואה של $\ \mathbb {Q}$ , משום שההרחבה אינה נורמלית: $\ \alpha$ הוא שורש של הפולינום $\ x^{4}-2$ , שהוא אי-פריק (לפי קריטריון אייזנשטיין) אבל השורש $\ i\alpha$ אינו שייך ל-K. לעומת זאת, L הוא הרחבת גלואה של שדה הביניים $\ L_{0}=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$ . סגור גלואה של ההרחבה $\ L/\mathbb {Q}$ מתקבל מצירוף כל השורשים של הפולינום המינימלי ל- $\ \mathbb {Q}$ , ושווה משום כך ל- $\ K=\mathbb {Q} [\alpha ,i\alpha ,-\alpha ,-i\alpha ]=\mathbb {Q} [\alpha ,i]$ . זוהי הרחבה מממד 8, שחבורת גלואה שלה היא החבורה הדיהדרלית מאותו סדר.

הכללה להרחבות של חוגים

בתורת החוגים הקומוטטיביים, הרחבה S של חוג R, יחד עם חבורה G של אוטומורפיזמים של S, נקראת הרחבת גלואה של R אם S מודול פרויקטיבי מעל R, תת-החוג האינווריאנטי תחת G הוא R, ולכל אידמפוטנט e של S פעולת G נאמנה על Se (כלומר לכל $\ \sigma \neq 1$ קיים $\ x\in S$ כך ש- $\ (\sigma (x)-x)e\neq 0$ ). הרחבת שדות K/F היא הרחבת גלואה של חוגים אם ורק אם היא הרחבת גלואה של שדות. באופן כללי יותר, לכל הרחבת גלואה K/F, המכפלה הישרה $\ S=K\times \cdots \times K$ היא הרחבת גלואה של F ביחס לחבורת אוטומורפיזמים הנוצרת על ידי שיכון אלכסוני של $\ \operatorname {Gal} (K/F)$ ופעולה טרנזיטיבית רגולרית על העותקים של K. לדוגמה, אם R תחום שלמות, הרחבת גלואה הנוצרת על ידי איבר אחד היא תמיד מהצורה $\ R[x]/\langle f(x)\rangle$ כאשר הפולינום f פולינום מתוקן והדיסקרימיננטה שלו היא איבר הפיך של R. בפרט, ההרחבה היחידה מדרגה 2 של חוג השלמים $\ \mathbb {Z}$ היא $\ \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ .

קישורים חיצוניים

הרחבת גלואה, באתר MathWorld (באנגלית)

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-'''הרחבת גלואה''' היא [[הרחבת שדות|הרחבה]] [[הרחבה נורמלית|נורמלית]] ו[[הרחבה ספרבילית|ספרבילית]] של [[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]]. הרחבות כאלו הן [[אבן פינה|אבן הפינה]] של [[תורת גלואה]], משום שיש להן [[חבורת גלואה|חבורות גלואה]] מן הסדר המקסימלי האפשרי, המקנות להן סימטריה מלאה. [[המשפט היסודי של תורת גלואה]] מספק התאמה מלאה בין שדות הביניים בהרחבה, לבין תת-החבורות בחבורת גלואה של ההרחבה.
+'''הרחבת גלואה''' היא [[הרחבת שדות|הרחבה]] [[הרחבה נורמלית|נורמלית]] ו[[הרחבה ספרבילית|ספרבילית]] של [[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]]. הרחבות כאלו הן [[אבן פינה|אבן הפינה]] של [[תורת גלואה]], לא רק מכיוון שזה גורר מספר תוצאות שונות אלא גם מכיוון שהרחבות גלואה מקיימות את [[המשפט היסודי של תורת גלואה]].
-הרחבת שדות K/F היא הרחבת גלואה אם ורק אם F הוא [[שדה שבת|שדה השבת]] החלקי ל-K של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורת]] כל ה[[אוטומורפיזם|אוטומורפיזמים]] של K מעל F. אם נסמן חבורה זו ב-<math>G_{K/F}</math> אזי <math>F = K^{G_{K/F}}</math>.
+תוצאה של [[אמיל ארטין]] מאפשרת לבנות הרחבת גלואה בקלות: עבור שדה L, נסמן ב-G חבורה כלשהי של אוטומורפיזמים של L. עבור K שדה השבת של G, מתקיים ש-L/K הרחבת גלואה.
+כל [[הרחבה ספרבילית|הרחבת שדות ספרבילית]] אפשר להמשיך להרחבת גלואה, הנקראת '''סְגור גלואה''' של ההרחבה המקורית.
-כל [[שדה פיצול]] של פולינום ספרבילי הוא הרחבת גלואה, וכל הרחבת גלואה סופית היא שדה הפיצול של פולינום מתאים.
+== הגדרות שקולות ==
-כל הרחבת שדות ספרבילית אפשר להמשיך להרחבת גלואה, הנקראת '''סְגור גלואה''' של ההרחבה המקורית.
+להרחבות גלואה יש מספר הגדרות שקולות:
+* הרחבה נורמלית וספרבילית
-אם K/F היא הרחבת גלואה אזי <math>| \mathrm{Gal}(K/F) | = \left[ K : F \right]</math>.
+* <math>| \operatorname{Aut} \left(L / K \right) | = \left[ L : K \right]</math>עבור <math>\operatorname{Aut} \left(K / L \right)</math>[[חבורת גלואה|חבורת הגלואה]].
+* L [[שדה פיצול|שדה הפיצול]] של [[פולינום ספרבילי]] מעל K
+* K הוא שדה השבת של <math>\operatorname{Aut} \left(K / L \right)</math>, כלומר K היא קבוצת כל האיברים שנשמרים במקומם על ידי כל איברי <math>\operatorname{Aut} \left(K / L \right)</math>.
-== דוגמאות ==
+== דוגמאות. ==
 . כל הרחבה ריבועית ספרבילית היא נורמלית, ולכן גלואה.
-. נסמן ב- <math>\ \alpha = \sqrt[4]{2}</math> את השורש ה'''רביעי''' של 2. השדה <math>\ L=\mathbb{Q}[\alpha]</math> אינו הרחבת גלואה של <math>\ \mathbb{Q}</math>, משום שההרחבה אינה נורמלית: <math>\ \alpha</math> הוא שורש של הפולינום <math>\ x^4-2</math>, שהוא אי-פריק (לפי [[קריטריון אייזנשטיין]]) אבל השורש <math>\ i\alpha</math> אינו שייך ל-K. לעומת זאת, L הוא הרחבת גלואה של שדה הביניים <math>\ L_0 = \mathbb{Q}[\sqrt{2}]</math>. סגור גלואה של ההרחבה <math>\ L/\mathbb{Q}</math> מתקבל מצירוף כל השורשים של הפולינום המינימלי ל-<math>\ \mathbb{Q}</math>, ושווה משום כך ל- <math>\ K = \mathbb{Q}[\alpha,i\alpha,-\alpha,-i\alpha] = \mathbb{Q}[\alpha,i]</math>. זוהי הרחבה מממד 8, שחבורת גלואה שלה היא ה[[חבורה דיהדרלית|חבורה הדיהדרלית]] מאותו סדר.
+. נסמן ב- <math>\ \alpha = \sqrt[4]{2}</math>את השורש ה'''רביעי''' של 2. השדה <math>\ L=\mathbb{Q}[\alpha]</math>אינו הרחבת גלואה של <math>\ \mathbb{Q}</math>, משום שההרחבה אינה נורמלית: <math>\ \alpha</math> הוא שורש של הפולינום <math>\ x^4-2</math>, שהוא אי-פריק (לפי [[קריטריון אייזנשטיין]]) אבל השורש <math>\ i\alpha</math> אינו שייך ל-K. לעומת זאת, L הוא הרחבת גלואה של שדה הביניים <math>\ L_0 = \mathbb{Q}[\sqrt{2}]</math>. סגור גלואה של ההרחבה <math>\ L/\mathbb{Q}</math>מתקבל מצירוף כל השורשים של הפולינום המינימלי ל-<math>\ \mathbb{Q}</math>, ושווה משום כך ל- <math>\ K = \mathbb{Q}[\alpha,i\alpha,-\alpha,-i\alpha] = \mathbb{Q}[\alpha,i]</math>. זוהי הרחבה מממד 8, שחבורת גלואה שלה היא ה[[חבורה דיהדרלית|חבורה הדיהדרלית]] מאותו סדר.
 == הכללה להרחבות של חוגים ==
-בתורת החוגים הקומוטטיביים, הרחבה S של חוג R, יחד עם חבורה G של אוטומורפיזמים של S, נקראת '''הרחבת גלואה''' של R אם S [[מודול פרויקטיבי]] מעל R, תת-החוג האינווריאנטי תחת G הוא R, ולכל [[אידמפוטנט]] e של S פעולת G נאמנה על Se (כלומר לכל <math>\ \sigma \neq 1</math> קיים <math>\ x\in S</math> כך ש-<math>\ (\sigma(x)-x)e \neq 0</math>). הרחבת שדות K/F היא הרחבת גלואה של חוגים אם ורק אם היא הרחבת גלואה של שדות. באופן כללי יותר, לכל הרחבת גלואה K/F, המכפלה הישרה <math>\ S = K \times \cdots \times K</math> היא הרחבת גלואה של F ביחס לחבורת אוטומורפיזמים הנוצרת על ידי שיכון אלכסוני של <math>\ \operatorname{Gal}(K/F)</math> ו[[פעולה טרנזיטיבית]] [[פעולה רגולרית|רגולרית]] על העותקים של K. לדוגמה, אם R תחום שלמות, הרחבת גלואה הנוצרת על ידי איבר אחד היא תמיד מהצורה <math>\ R[x]/\langle f(x) \rangle</math> כאשר הפולינום f [[פולינום מתוקן]] וה[[דיסקרימיננטה]] שלו היא [[איבר הפיך]] של R. בפרט, ההרחבה היחידה מדרגה 2 של חוג השלמים <math>\ \mathbb{Z}</math> היא <math>\ \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}</math>.
+בתורת החוגים הקומוטטיביים, הרחבה S של חוג R, יחד עם חבורה G של אוטומורפיזמים של S, נקראת '''הרחבת גלואה''' של R אם S [[מודול פרויקטיבי]] מעל R, תת-החוג האינווריאנטי תחת G הוא R, ולכל [[אידמפוטנט]] e של S פעולת G נאמנה על Se (כלומר לכל <math>\ \sigma \neq 1</math> קיים <math>\ x\in S</math> כך ש-<math>\ (\sigma(x)-x)e \neq 0</math>). הרחבת שדות K/F היא הרחבת גלואה של חוגים אם ורק אם היא הרחבת גלואה של שדות. באופן כללי יותר, לכל הרחבת גלואה K/F, המכפלה הישרה <math>\ S = K \times \cdots \times K</math>היא הרחבת גלואה של F ביחס לחבורת אוטומורפיזמים הנוצרת על ידי שיכון אלכסוני של <math>\ \operatorname{Gal}(K/F)</math>ו[[פעולה טרנזיטיבית]] [[פעולה רגולרית|רגולרית]] על העותקים של K. לדוגמה, אם R תחום שלמות, הרחבת גלואה הנוצרת על ידי איבר אחד היא תמיד מהצורה <math>\ R[x]/\langle f(x) \rangle</math>כאשר הפולינום f [[פולינום מתוקן]] וה[[דיסקרימיננטה]] שלו היא [[איבר הפיך]] של R. בפרט, ההרחבה היחידה מדרגה 2 של חוג השלמים <math>\ \mathbb{Z}</math>היא <math>\ \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}</math>.
 ==קישורים חיצוניים==